CF1896D 题解

Solution

令 $l,r$ 能使 $\sum _{i=l}^r{a}_i=S$。

考虑先令 $l=1$，那么如果存在 $\sum _{i=1}^r=S$，即输出 YES。如果没有，则一定有 $\sum _{i=1}^r=S-1$，且 $a_{r+1}=2$。

考虑对 $l,r$ 进行调整：将 $l$ 向左移，$r$ 向右移。可以发现当 $1\sim l^{\prime }$ 全部为 $2$，且 $r\sim r^{\prime }$ 全部为 $2$，且 $a_{r^{\prime }+1}=1$ 或 $a_{l^{\prime }+1}=1,a_{r^{\prime }}=2$ 时，条件成立。

于是考虑用线段数维护出区间内 $1$ 出现的次数，记为 $cnt1$，$2$ 的出现次数显然可以用区间长度减去 $cnt1$ 得到，记为 $cnt2$。然后用二分求出 $1$ 左边第一次出现的 $1$ 的位置，记为 $pos1$，以及 $r$ 左边第一次出现的 $1$，记为 $pos2$。

接下来考虑答案：如果 $pos1=-1$，显然无解；如果 $pos2=-1$，且 $pos1-1>n-r$，说明 $r$ 后面没有足够的 $2$，无解。当 $pos1,pos2$ 都不为 $-1$ 时，显然有解。

考虑再记录区间和，方便找到初始的 $r$。显然我们可以使用二分套线段树的方法，时间复杂度为 $O(n{\log }^{2}n)$，但在线段树上二分可以优化到单 $\log$。