CF1925D Good Trip 题解

Solution

不好做的地方在于每一对朋友的友谊值是不同的，于是考虑将其统一为一个数。比较好想的就是将他们的初始友谊值提前计算，即对于每一次远足，设总情况为 $S=\frac{n\times (n-1)}{2}$，总的初始友谊值为 $w=\sum _{i=1}^m{f}_i$，假设友谊值不变，获得的期望友谊值为 $\frac{w}{S}$，共有 $k$ 次远足，所以初始友谊值的贡献即为 $\frac{k\times w}{S}$。

现在我们可以认为每一对朋友的友谊值为 $0$，带来的好处是每一对朋友的期望增加量可以认为是相同的。于是考虑其中一对朋友被选中了 $t$ 次，那么这对朋友的增加量为 $h=\frac{t\ast (t-1)}{2}\times P(t)$，$P(t)$ 是被选中 $t$ 次的概率。设 $p1$ 为这 $t$ 次远足在 $k$ 次远足中出现的情况数，即 $p1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})$；设 $p2$ 为这对朋友被选中 $t$ 次的期望，所以 $p2=(\frac{1}{S}{)}^t$；设 $p3$ 为这对朋友在剩余的 $k-t$ 次远足中不再被选中的期望，所以 $p3=(\frac{S-1}{S}{)}^{k-t}$。那么 $P(t)=p1\times p2\times p3$。知道了其中一对朋友出现 $0\sim k$ 次的期望后，乘上 $m$ 即为总的期望增加量。

void work(){ 
    cin>>n>>m>>k; int ans=0,res=0; 
    for(int i=1,a,b,p;i<=m;i++) cin>>a>>b>>p,ans=(ans+p)%Mod; 
    int S=n*(n-1)/2%Mod,invS=qmi(S,Mod-2); ans=k*ans%Mod*invS%Mod; 
    for(int i=1;i<=k;i++){ 
        int w=i*(i-1)/2%Mod; 
        res=(res+w*C(k,i)%Mod*qmi(invS,i)%Mod*qmi((S-1)*invS%Mod,k-i)%Mod)%Mod; 
    } ans=(ans+res*m%Mod)%Mod; printf("%lld\n",ans); 
}