P1865 A % B Problem

P1865 A % B Problem

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题意简述

求区间 $[l,r]$ 内质数的个数

解析

前置知识：

• 素数判断 / 素数筛法
• 前缀和

质数是指在大于 $1$ 的自然数中，除了 $1$ 和它本身以外不再有其他因子的自然数。

一层循环判断 $2\sim n-1$ 的每一个数是否是它的因子

设 $n=a\times b$，则 $a,b$ 中必有一个小于等于 $\sqrt{n}$，另一个大于等于 $\sqrt{n}$

因此，可以只判断 $2\sim \sqrt{n}$ 的数是否为 $n$ 的因子

static boolean isPrime(int n) {
    if (n == 1) return false;
    for (int i = 2, sq = (int) Math.sqrt(n); i <= sq; ++i) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

那如何处理 区间素数个数呢？

常规的思路是对每次询问的区间进行素数判断并求个数

但是对于 $n$ 次询问，每次都判断区间内的素数个数很大程度上会出现重复，所以我们会想到通过空间换时间的方式，将所询问的所有区间内是否是素数这个东西存下来，用到的时候调用就行，于是我们得到了如下代码

import java.util.Scanner;

public class Main {

    static boolean isPrime(int n) {
        if (n == 1) return false;
        for (int i = 2, sq = (int) Math.sqrt(n); i <= sq; ++i) {
            if (n % i == 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();
        boolean[] a = new boolean[m + 1];
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            a[i] = isPrime(i);
        }
        while (n-- != 0) {
            int l = sc.nextInt(), r = sc.nextInt();
            if (1 <= l && l <= r && r <= m) {
                int sum = 0;
                for (int i = l; i <= r; ++i) {
                    if (a[i]) {
                        ++sum;
                    }
                }
                System.out.println(sum);
            } else {
                System.out.println("Crossing the line");
            }
        }
    }
}

但是在求区间内素数时，仍然有大量重复循环，每次都进行了区间的累加

我们考虑改变询问的式子

$$\begin{array}{rl}su{m}_{[l,r]}& =a_l+\cdots +a_r\\ & =(a_1+\cdots +a_{l-1})+a_l+\cdots +a_r-(a_1+\cdots +a_{l-1})\\ & =(a_1+\cdots +a_{l-1}+a_l+\cdots +a_r)-(a_1+\cdots +a_{l-1})\end{array}$$

可以看到变成 $1\sim r$ 和 $1\sim l-1$ 的差，他们都是和所给左右端点有关的 前缀的和

若定义 $S$ 为数列 $a$ 的前缀的和，即 $S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i$，则 $sum[l,r]=S_r-S_{l-1}$

因此，我们可以预处理出 $S$ 这个数列，每次询问时只需通过一个减法求得区间 $[l,r]$ 的和

前缀和的定义如下：

对于一个给定的数列 $A$，它的前缀和数列 $S$ 中的第 $i$ 项表示从第 $1$ 个元素到第 $i$ 个元素的总和，即 $S_i=A_1+A_2+\cdots +A_i$

定义 区间 $[l,r]$ 的和为 $su{m}_{[}l,r]$，则有如下式子

$$su{m}_{[l,r]}=\{\begin{array}{ll}{S}_r-S_{l-1}& l\ge 2\\ S_1& l=1\end{array}$$

Code

import java.util.Scanner;

public class Main {

    static boolean isPrime(int n) {
        if (n == 1) return false;
        for (int i = 2, sq = (int) Math.sqrt(n); i <= sq; ++i) {
            if (n % i == 0) return false;
        }
        return true;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();
        int[] a = new int[m + 1];
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            if (isPrime(i)) a[i] = 1;
        }
        // 求 素数个数 的前缀和
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            a[i] += a[i - 1];
        }
        while (n-- != 0) {
            int l = sc.nextInt(), r = sc.nextInt();
            if (1 <= l && l <= r && r <= m) {
                System.out.println(a[r] - a[l - 1]);
            } else {
                System.out.println("Crossing the line");
            }
        }
    }
}