洛谷 P1403 约数研究

洛谷 P1403 约数研究

原题链接：P1403 约数研究 - 洛谷

数据增强：U264257 Multiple (Difficult) - 洛谷

前置知识

1. $a$ 能整除 $b$ （或者说$b$是$a$的因子）用符号表示为 $b\mid a$

2. $1\sim n$ 中约数（即因子）含 $x$ 的数的个数为 $\lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor$

3. 数论分块 - Cattle_Horse

证明

对于 $x$ 作为因子，$x$ 一定为 $x,2x，3x，4x，...，kx$ 的因子，则 $k=\lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor$

所以 $answer=k=\lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor$

解决该题

以 $n=6$ 为例，即求 $\sum _{i=1}^{6}f(i)$

1 的约数：1
2 的约数：1，2
3 的约数：1， ，3
4 的约数：1，2， ，4
5 的约数：1， ， ， ，5
6 的约数：1，2，3， ， ，6

正常思路：求每个数的约数个数，再求和，即横着看

换种思路：求 $1\sim n$ 中有多少个数约数含 $i$ ，其中 $i\in [1,n]$，即竖着看

证明：

$$\mathrm{由}\mathrm{题}\mathrm{得}，\mathrm{要}\mathrm{求}\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{为}\sum _{i=1}^{n}f(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d\mid i}1$$

$$\mathrm{即}\sum _{i=1}^{n}f(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d=1}^n(d\mid i)$$

$$\mathrm{交}\mathrm{换}\mathrm{求}\mathrm{和}\mathrm{顺}\mathrm{序}\sum _{i=1}^{n}f(i)=\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^n(d\mid i)$$

$$\mathrm{由}\mathrm{前}\mathrm{置}\mathrm{知}\mathrm{识}2\mathrm{得}\sum _{i=1}^{n}f(i)=\sum _{d=1}^n\lfloor {\displaystyle \frac{n}{d}}\rfloor$$

Code（50）

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans += n / i;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

Code（100）

数论分块 - Cattle_Horse

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long n = sc.nextLong();
        long ans = 0;
        for (long l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
            r = n / (n / l);
            ans += n / l * (r - l + 1);
        }
        System.out.println(ans);
    }
}