洛谷P1706 全排列问题
全排列问题
题目描述
按照字典序输出自然数 \(1\) 到 \(n\) 所有不重复的排列，即 \(n\) 的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。
输入格式
一个整数 \(n\)。
输出格式
由 \(1 \sim n\) 组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。
每个数字保留 \(5\) 个场宽。
样例 #1
样例输入 #1
3
样例输出 #1
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
提示
\(1 \leq n \leq 9\)。
解析
前言
不要使用printf格式化输出，性能十分的低！！！
DFS回溯法求全排列
\(DFS\) 最显著的特征在于其 递归调用自身。同时与 \(BFS\) 类似，\(DFS\) 会对其访问过的点打上访问标记，在遍历时跳过已打过标记的点，以确保 每个点仅访问一次。
回溯法是一种经常被用在\(DFS\) (深度优先搜索) 和\(BFS\)(广度优先搜索)的技巧。
其本质是：走不通就回头。
伪码
int ans = 最坏情况;
void dfs(传入数值) {
if (到达目的地){
ans = 从当前解与已有解中选最优;
return...
}
for (遍历所有可能性)
if (可行) {
进行操作;
dfs(缩小规模);
撤回操作;
}
}
实现
import java.util.Scanner;
public class Main {
static Scanner sc = new Scanner(System.in);
//book[i]代表i已经被选择过了
static boolean[] book;
//存储当前的排列
static int[] num;
static int N;
static void dfs(int n) {
//已经搜索到最后一个数了
if (n > N) {
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
System.out.print(" " + num[i]);
}
System.out.println();
}
//遍历所有数
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
//如果i已经被选择，则跳过
if (book[i]) continue;
//给i这个数打上标记，代表选上i
book[i] = true;
//将i存入当前排列答案中
num[n] = i;
//继续搜索下一个数
dfs(n + 1);
//撤回标记
book[i] = false;
}
}
public static void main(String[] args) {
N = sc.nextInt();
num = new int[N + 1];
book = new boolean[N + 1];
dfs(1);
}
下一个排列
下一个排列的定义是：
给定数字序列的字典序中下一个更大的排列。如果不存在下一个更大的排列，则将数字重新排列成最小的排列（即升序排列）。
对于非严格递减的序列没有下一个排列
简单来说就是，下一个数比当前数大且尽可能的小
推导
举个例子，求7562541的下一个排列
对于一个序列
越靠前的数对整个序列的影响幅度越大，越靠后的数对整个序列的影响幅度越小
对于非严格递减的数没有下一个排列
所以要找到一个靠后且有下一个排列的最小单元序列，也就是最后一个相邻的升序元素对
我们发现(2,5)是最后一个相邻的升序的元素对，因此，2541是满足条件的最小单元序列（这个子序列从第二个元素开始，一定是非严格递减的）
我们需要让这个子序列2541大一点点，于是在2541的后缀541中从后向前找第一个大于首元素的数字，也就是4，让它与第一个元素2进行交换
这样得到的就是以4为首的最大排列4521，对其后缀521进行逆序操作，就能得到以4为首的最小排列4125
因此得到了7562541的下一个排列7564125
描述
下一个排列的描述：
- 从后向前查找第一个相邻的 升序 的元素对（代表这个后缀有下一个排列），即找到最后一个
arr[i]<arr[i+1]。（此时[i+1,end)是非严格递减的） - 在后缀
[i+1,end)中找到最小的大于arr[i]的数，记为arr[k]。由于后缀[i+1,end)是非严格递减的，所以从后向前找到第一个大于arr[i]的数即可 - 交换
arr[i]和arr[k]。这时得到的后缀是以arr[k]为首的最大的排列 - 对后缀
[i+1,end)进行逆序操作，来得到以arr[k]为首的最小的排列。 - 若在步骤1中无符合条件的相邻的元素对，则说明此时数组是非严格降序的，没有下一个排列了
实现
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void swap(int[] arr, int x, int y) {
arr[x] ^= arr[y] ^ (arr[y] = arr[x]);
}
//作用：生成下一个排列 (数组范围[l,r])
public static boolean nextPermutation(int[] arr, int l, int r) {
if (arr.length <= 1) return false;
int i = r - 1;
while (i >= l && !(arr[i] < arr[i + 1])) --i;
if (i == l - 1) return false;
int k = r;
while (arr[i] >= arr[k]) --k;
swap(arr, i, k);
for (int left = i + 1, right = r; left < right; ++left, --right) swap(arr, left, right);
return true;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[] arr = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; ++i) arr[i] = i;
do {
for (int i = 1; i <= n; ++i) System.out.print(" " + arr[i]);
System.out.println();
} while (nextPermutation(arr, 1, n));
}
}
对比
| DFS回溯 | 下一个排列 | |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | \(O(n\times n!)\) | \(O(n\times n!)\) |
| 空间复杂度 | 在不考虑栈消耗下，需要标记数组 \(O(n)\) | 数组内原地操作 \(O(1)\) |
| 是否支持序列包含重复元素 | 不支持（除非进行特判） | 完全支持 |
| 适用程度 | DFS回溯算法适用程度更广，应当优先掌握 | 仅适用于排列问题 |
