洛谷P7223 [RC-04] 01 背包

[RC-04] 01 背包

题目描述

P7223 [RC-04] 01 背包 - 洛谷

‘有一个容积为 $+\mathrm{\infty }$ 的背包，你要往里面放物品。

你有 $n$ 个物品，第 $i$ 个体积为 $a_i$。

你有一个幸运数字 $p$，若放入的物品体积和为 $k$，你会得到 $p^k$ 的收益。特别地，$0^0=1$。

求所有 $2^n$ 种放入物品的方案的收益和。答案很大，因此请输出它对 $998244353$ 取模的值。

输入格式

第一行两个整数 $n,p$。

接下来一行 $n$ 个正整数 $a_1\sim a_n$，描述这 $n$ 个物品的体积。

输出格式

输出一个整数，为所有 $2^n$ 种方案的收益和对 $998244353$ 取模的值。

样例 #1

样例输入 #1

2 2
1 4

样例输出 #1

51

提示

【样例解释】

答案为 $2^0+2^1+2^4+2^5=51$。

【数据范围】

对于所有数据，$1\le n\le {10}^6$，$0\le p,a_i<998244353$。

详细数据范围如下表：

测试点编号	$n$	$p$	$\sum _{i=1}^n{a}_i$	每测试点分数
$1$		$=0$		$2$
$2\sim 5$	$\le 22$			$6$
$6\sim 9$	$\le 1000$		$\le 1000$	$6$
$10\sim 14$	$\le 100000$		$\le 100000$	$5$
$15$				$25$

解析

递归枚举所有方案

所有的方案个数为 $nums\le 2^{1000000}$

理想情况下，最多只能拿到测试点编号2~5的分数

注意要对MOD使用finnal关键字

java中final 与效率_fa1d1的博客

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static Scanner sc = new Scanner(System.in);
    static int n;
    static int p;
    static int[] w;
    static long ans = 0;
    static final int MOD = 998244353;//一定要用final关键字！！！
    public static void main(String[] args) {
        n = sc.nextInt();
        p = sc.nextInt();
        w = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            w[i] = sc.nextInt();
        }
        dfs(0,0);
        System.out.println(ans);
    }
    static void dfs(int len, long sum) {
        if (len == n) {
            ans = (ans + pow(p, sum)) % MOD;
            return;
        }
        dfs(len + 1, sum);//如果不选择当前物品
        dfs(len + 1, sum + w[len]);//如果选择当前物品
    }
    static long pow(long x, long n) {//尽量使用位运算优化
        long ans = 1;
        for (; n != 0; n >>= 1, x = x * x % MOD) {
            if ((n & 1) == 1) ans = ans * x % MOD;
        }
        return ans;
    }
}

数学推导

前$X$个物品的总收益记为$an{s}_x$，前$X-1$个物品的总收益记为$an{s}_{x-1}$

以下关注$an{s}_x$的性质

设每种方案的总体积为$k_i$，其中 $iϵ[1,2^x]$

则$an{s}_x=\sum _{i=1}^{2^x}{p}^{k_i}$

对于所有方案都增加$V$体积

则总收益变为$\sum _{i=1}^{2^x}{p}^{k_i+V}=p^V\times \sum _{i=1}^{2^x}{p}^{k_i}=p^V\times an{s}_x$

所以，若每种方案的体积都增加$V$，相当于乘以$p^V$

考虑第$X$个物品的 $an{s}_x$

每种物品仅有两种情况

1. 不选该物品，由于任意一种方案的物品总体积不变，则对$an{s}_{x-1}$无影响
2. 选择该物品，对任意一种方案的物品总体积增加$V_x$，则$an{s}_{x-1}\times p^{V_x}$

$an{s}_x$为这两种情况的价值的和

则$an{s}_x=an{s}_{x-1}+an{s}_{x-1}\times p^{V_x}=an{s}_{x-1}\times (1+p^{V_x})$

$\therefore {\displaystyle \frac{an{s}_x}{an{s}_{x-1}}}=1+p^{V_x}$

由累乘法得：${\displaystyle \frac{an{s}_x}{an{s}_0}}=\prod _{i=1}^x(1+p^{V_i})$

而$an{s}_0$表示当前无任何物品，即$V=0$

$\therefore an{s}_0=p^V=p^0=1$

$\therefore an{s}_x=\prod _{i=1}^x(1+p^{V_i})$

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static Scanner sc = new Scanner(System.in);
    static final long MOD = 998244353;
    static int n;
    static long ans = 1l, p;
    static int[] V;

    static long powMod(long a, int b) {
        long ret = 1;
        for (; b != 0; b >>= 1, a = a * a % MOD)
            if ((b & 1) == 1) ret = ret * a % MOD;
        return ret;
    }

    public static void main(String[] args) {
        n = sc.nextInt();
        p = sc.nextLong();
        V = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) V[i] = sc.nextInt();
        for (int v : V) ans = ans * (1l + powMod(p, v)) % MOD;
        System.out.println(ans);
    }
}