论矩阵

总结自：http://blog.csdn.net/myan/article/details/647511

 

1、什么是空间？

空间有很多种。大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。

我们生活的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间。

先分析一下这个三维空间的特点有：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，

上面的这些性质中，只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。

事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。

“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。

 

2、什么是线性空间？

（1）线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？

线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。

向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。

为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。

（2）线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？

很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。

（3）简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。

 

是的，矩阵的本质是运动的描述。

（4）回头反思：

运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。但这样又太物理了，因此考虑另一个词：变换。

所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。

（5）总结：

 

“矩阵是线性空间里的变换的描述。”

 

 

3、什么是线性变换？

套用书本上的定义：

线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：
T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，
那么就称T为线性变换。

基：看成是线性空间里的坐标系。

在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。

 

4、什么是相似矩阵？

若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（即在不同的基下，有不同的坐标系，则同一个线性变换可能对应不同的描述），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：

A = P^-1BP， 即A与B相似。

所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。

矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

计算机图形学中的矩阵

计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。