题目描述

给定一个正整数数组 w ，其中 w[i] 代表下标 i 的权重（下标从 0 开始），请写一个函数 pickIndex ，它可以随机地获取下标 i，选取下标 i 的概率与 w[i] 成正比。

例如，对于 w = [1, 3]，挑选下标 0 的概率为 1 / (1 + 3) = 0.25 （即，25%），而选取下标 1 的概率为 3 / (1 + 3) = 0.75（即，75%）。

也就是说，选取下标 i 的概率为 w[i] / sum(w) 。

示例 1：

输入：
inputs = ["Solution","pickIndex"]
inputs = [[[1]],[]]
输出：
[null,0]
解释：
Solution solution = new Solution([1]);
solution.pickIndex(); // 返回 0，因为数组中只有一个元素，所以唯一的选择是返回下标 0。

示例 2：

输入：
inputs = ["Solution","pickIndex","pickIndex","pickIndex","pickIndex","pickIndex"]
inputs = [[[1,3]],[],[],[],[],[]]
输出：
[null,1,1,1,1,0]
解释：
Solution solution = new Solution([1, 3]);
solution.pickIndex(); // 返回 1，返回下标 1，返回该下标概率为 3/4 。
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 0，返回下标 0，返回该下标概率为 1/4 。

由于这是一个随机问题，允许多个答案，因此下列输出都可以被认为是正确的:
[null,1,1,1,1,0]
[null,1,1,1,1,1]
[null,1,1,1,0,0]
[null,1,1,1,0,1]
[null,1,0,1,0,0]
......
诸若此类。

提示：

1 <= w.length <= 10000
1 <= w[i] <= 10^5
pickIndex 将被调用不超过 10000 次

解答

第一直觉解答（超时）

根据题目所述：需要随机取下标，但是要保证下标的比例，会很容易想到构建一个按照比例存放的数组，然后随机从中取出下标

例如：
当w = [3, 1, 2]时，我构建一个下标数组：indexArr = [0, 0, 0, 1, 2, 2]，再随机从indexArr 中随机取下标，就能保证0、1、2的比例为w数组所确定的3: 1: 2

代码：

class Solution {
  #indexArr: number[] = [];
  constructor(w: number[]) {
    for (let i = 0; i < w.length; i++) {
      this.#indexArr = this.#indexArr.concat(new Array(w[i]).fill(i));
    }
  }

  pickIndex(): number {
    return this.#indexArr[Math.round(Math.random() * (this.#indexArr.length - 1))];
  }
}

但是此方法在数据量特别大的时候会出现超时，导致无法通过leetcode测试用例：

超时的原因在于concat与fill方法分别为O(n+m)与O(m)的时间复杂度，再在外面套一层遍历w的for循环导致时间复杂度上升到O(n^2)，而本题是有O(n)时间复杂度的解法的，所以这里无法通过测试。

前缀和+二分法

这种方法本质上也是想办法按照比例“拉长”下标数组（例如上述例子，将[3, 1, 2]拉长为[0, 0, 0, 1, 2, 2]），此方法是根据前缀和的特点将[3, 1, 2]“视作”为[1, 2, 3, 4, 5, 6]，再从1至6中取随机数，当随机数为1或2或3时，返回下标0；当随机数为4时，返回下标1；当随机数为5或6时，返回下标2。这样也能保证取出的随机数比例是3: 1: 2。

方法原理：

当w = [3, 1, 2]时，构建前缀和数组[3, 4, 6]，如果此时我们从1开始，在脑海或者草稿纸上使用虚拟的数字填满1至6，可知比例确实是3: 1: 2

代码逻辑

根据上面所述，我们的函数逻辑只需要构建前缀和数组，然后随机取1到前缀和数组的最后一项的值，然后在前缀和数组中找到刚好大于或等于该随机值的数组元素，然后返回此数组元素对应的下标即可。

class Solution {
  #suffixSumArr: number[];
  constructor(w: number[]) {
    let sum = 0;

    // 构建前缀和数组
    this.#suffixSumArr = w.map((num) => (sum += num));
  }

  pickIndex(): number {
    const randomNum = Math.random() * this.#suffixSumArr.at(-1)! - 1 + 1;

    // 寻找刚好大于randomNum的前缀和数组元素的下标
    let i = 0;
    while (true) {
      if (this.#suffixSumArr[i] >= randomNum) return i;
      i++
    }
  }
}

此时方法还有优化空间，可以采用二分法将“寻找刚好大于等于随机数的前缀和数组元素的下标”这一步的时间复杂度由O(n)进一步优化到O(logn)

class Solution {
  #suffixSumArr: number[];
  constructor(w: number[]) {
    let sum = 0;

    // 构建前缀和数组
    this.#suffixSumArr = w.map((num) => (sum += num));
  }

  pickIndex(): number {
    const randomNum = Math.random() * this.#suffixSumArr.at(-1)! - 1 + 1;
    let l = 0;
    let r = this.#suffixSumArr.length;

    // 二分法查找刚好大于或等于randomNum的值的下标
    while (true) {
      const middle = (l + r) >> 1;
      const middleNum = this.#suffixSumArr[middle];
      const middleLeftNum = this.#suffixSumArr[middle - 1] ?? -Infinity;

      if (middleNum < randomNum) {
        // middle下标对应值过小
        l = middle + 1;
        continue;
      } else if (middleLeftNum >= randomNum) {
        // middle下标对应值过大
        r = middle - 1;
        continue;
      }

      return middle;
    }
  }
}

gpt总结

这段代码是一个基于权重随机选择索引的解决方案。其主要思路是通过构建一个前缀和数组，然后利用二分查找的方式，在这个数组中随机选择一个索引。下面是针对该代码的详细分析：

算法逻辑：该算法首先通过输入的权重数组w构建一个前缀和数组#suffixSumArr。构建过程中，每个元素的值等于它之前所有元素的和（包括自身），这样可以根据元素值的大小反映出它的权重。接着，在pickIndex方法中，算法生成一个介于0到前缀和数组最后一个元素值之间的随机数。通过二分查找，算法寻找到一个索引，使得该索引对应的前缀和刚好大于或等于这个随机数，这样根据权重随机选择索引的目的得以实现。
变量解释：
- #suffixSumArr：一个私有数组，存储输入数组w的前缀和。前缀和数组的每个元素代表了到当前位置为止，所有输入权重的累计和。
- w：构造函数的输入参数，一个包含非负整数的数组，代表每个索引的权重。
- sum：局部变量，用于在构建前缀和数组时，累加权重。
- randomNum：在pickIndex方法中生成的随机数，用于根据权重随机选择一个索引。
- l和r：二分查找过程中使用的左右指针，用于定位前缀和数组中的搜索范围。
- middle：二分查找过程中的中间索引。
- middleNum和middleLeftNum：分别代表中间索引及其左侧索引在前缀和数组中的值。
关键代码分析：
- 前缀和数组的构建：this.#suffixSumArr = w.map((num) => (sum += num));。这一步是算法的基础，通过累加输入数组的元素，构建了一个前缀和数组。
- 二分查找：while循环体内通过二分法逐步缩小搜索范围，直到找到随机数对应的权重索引。
性能分析：
- 时间复杂度：构造函数的时间复杂度为O(N)，其中N是输入数组w的长度，因为需要遍历一次数组来构建前缀和数组。pickIndex方法的时间复杂度为O(logN)，因为采用了二分查找。
- 空间复杂度：O(N)，主要空间开销来源于前缀和数组#suffixSumArr，其大小与输入数组w相同。
适用场景：这种算法适用于需要根据不同的权重随机选择元素的场景，例如负载均衡中根据服务器的处理能力分配请求、在线抽奖系统中根据不同奖项的中奖概率抽取奖项等。

posted @ 2024-03-11 10:41 Cat_Catcher 阅读(11) 评论(0) 编辑收藏举报

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leetcode 528/ LCR 071 按权重随机选择