欧几里德算法求解最大公约数

1、欧几里德算法（辗转相除法）

最大公约数
greatest common divisor，简写为gcd；或highestcommon factor，简写为hcf
最小公倍数
最小公倍数（Least Common Multiple，缩写L.C.M.）

最小公倍数=两数的乘积/最大公约数

欧几里德算法（辗转相除法）
1. 欧几里德算法和扩展欧几里德算法
1). 欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法， 用于计算两个整数a, b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理： gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

证明：
a可以表示成a = kb + r, 则r = a mod b
假设d是a, b的一个公约数， 则有 d|a, d|b, 而r = a - kb, 因此d|r。
因此，d是(b, a mod b)的公约数。
加上d是(b，a mod b)的公约数，则d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公约数。
因此，(a, b) 和(a, a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

public long gcd(int x,int y) {  
    int temp;  
    while(y!=0) { //base case :  
        temp=x%y;  
        x=y;  
        y=temp;  
    } //end while  
    return x;  
} //end gcd()

2、Stein算法

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论是理论，还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位， 对于这样的整数，计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J.Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：
gcd(a, a) = a， 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数比如能被2整除。
Stein算法的python实现如下：

def gcd_Stein(a, b):      
    if a < b:  
        a, b = b, a  
    if (0 == b):  
        return a  
    if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:  
        return 2 * gcd_Stein(a/2, b/2)  
    if a % 2 == 0:  
        return gcd_Stein(a / 2, b)  
    if b % 2 == 0:  
        return gcd_Stein(a, b / 2)  

    return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2)