2024.8#8
T1.P5176公约数
为了方便，我们令 \(x = \gcd(i,j),y = \gcd(i,k),z = \gcd(j,k)\)。
那么我们就要求出：
\[\sum^n_{i = 1}\sum^m_{j=1}\sum^p_{k=1}\gcd(i\times j,i\times k,j\times k) \times \gcd(i,j,k) \times \frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}
\]
然后我们有 \(\gcd(i\times j,i\times k,j\times k) = \frac{x\times y\times z}{\gcd(i,j,k)}\)。然后再把这个东西带回原式，可得 \(\sum^n_{i = 1}\sum^m_{j=1}\sum^p_{k=1} x^2+y^2+k^2\)。接着我们可以把这个式子拆开来后再把无关的 \(\sum\) 提到前面，可以变为：
\[p\times \sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\gcd(i,j)^2+m\times \sum^n_{i=1}\sum^k_{j=1}\gcd(i,j)^2+n\times \sum^m_{i=1}\sum^k_{j=1}\gcd(i,j)^2
\]
那么现在我们只需要求出 \(\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1} \gcd(i,j)^2\) 即可，应为剩余的两个是类似的。
此时我们定义 \(F(n,m) = \sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1} \gcd(i,j)^2\)。
套路的，我们枚举 \(\gcd(i,j) = d\)，那么式子就变为：
\[\sum^n_{d=1}\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1} d^2[\gcd(i,j)==d]
\]
然后 \(i,j\) 都除以 \(d\)，那么式子变为：
\[\sum^n_{d=1}\sum^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}_{i=1}\sum^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}_{j=1} d^2[\gcd(i,j)==1]
\]
即为：
\[\sum^n_{d=1} d^2 \sum^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}_{i=1}\sum^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}_{j=1}\sum_{k \mid \gcd(i,j)}\mu(k)
\]
然后我们提前枚举 \(k\)，那么就变为：
\[\sum^n_{d=1}d^2\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \mu(k) \lfloor \frac{n}{d \times k} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{d \times k} \rfloor
\]
然后我们令 \(g(x) = x \times x\)，那么 \(F(n,m) = \sum^n_{T=1}\lfloor \frac{n}{T} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{T} \rfloor \times (g(x) \times \mu(x))\)，然后我们是两个积性函数的卷积，然后这一块用类似于P4449的方法做即可。
