2024.8 #6

T1. [AGC060F] Spanning Trees of Interval Graph

我们令 $S=\sum C_{i,j}$。

我们设两个矩阵 $B_{i,j}=[[L_i,R_i]\cap [L_j,R_j]]$ 以及 $A_{i,i}=\sum B_{i,j}$。

那么根据矩阵树定理，我们知道生成树的数量就是 $det(A-B)$。然而直接高斯消元复杂度是 $O(S^3)$ 的，难以接受。我们需要考虑如何优化 $A$。

考虑矩阵行列式引理，我们需要构造出两个 $(S-1)\times m$ 的矩阵 $A,B$，使得 $G=A\times B^T$，那么根据矩阵行列式引理：$det(D-G)=det(I-B^T{D}^{-1}A)det(D)$，其中 $I$ 为单位矩阵。接下来的问题就变成了如何构造大小为 $(S-1)\times m$ 的矩阵 $A,B$。

为了求出 $A,B$ 后方便计算答案，我们令 $m=2\times n-1$。

那么此时我们考虑用两个点来表示两个区间是否有交，不难发现其实就是相交的点数减相交的边数是否为 $1$。那么 $F,G$ 的构造如下：

• $F_{i,2\times j-1}=G_{i,2\times j-1}=[j\in [L_i,R_i]]$

• $F_{i,2\times j}=-1\times [[j,j+1]\in [L_i,R_i]]$

• $G_{i,2\times j}=[[j,j+1]\in [L_i,R_i]]$

那么我们就可以直接利用高斯消元 $\mathrm{O}(m^3)$ 求出行列式的值。

T2.HAOI 2017 字符串

我们先考虑如何判断两个字符串 $a,b$ 相似。很明显，条件为 $|a|=|b|$ 且 $\text{LCP}(a,b)+\text{LCS}(a,b)+k\ge |a|$。其实就相当于把 $b$ 中一个长度为 $k$ 的子串换成通配符后和 $a$ 相等。

此时我们可以考虑容斥，对于每一个 $p_i$，我们枚举长度为 $k$ 和 $k-1$ 的区间换乘通配符，然后求出换完后的字符在 $s$ 中的出现次数。然后通过一些计算就可以得出答案了。

具体的，我们对字符串的正串和反串建出一个 AC 自动机，并且记录文本串每一个每一个位置在 AC 自动机上的节点。

由于换成通配符之后，只剩下一个 $\text{pre}$ 和一个 $\text{suf}$，一个 $j$ 对于答案有贡献的要求就是 $s$ 中以 $j$ 为开头长度为 $|\text{pre}|$ 的子串等于 $\text{pre}$，$s$ 中以 $j+|\text{pre}|+k$ 为开头，长度为 $|\text{suf}|$ 的子串等于 $\text{suf}$。我们的任务就是求出这样的 $j$ 的个数。

那么这个条件转移到树上就变成了 $s$ 以 $pos$ 为结尾的后缀在 AC 自动机上的节点在 fail 树上在 $p_i$ 的前缀 $j$ 在 AC 自动机上的节点子树之中。这是前缀的情况，后缀的情况同理。

那么我们只需要把 在某个点的子树内 这个限制转化为 DFS 序在某个区间内 这个限制，这样我们就可以使用二维数点来解决了。