2024.8 #6

T1. [AGC060F] Spanning Trees of Interval Graph

我们令 \(S = \sum C_{i,j}\)。

我们设两个矩阵 \(B_{i,j} = [[L_i,R_i] \cap [L_j,R_j]]\) 以及 \(A_{i,i} = \sum B_{i,j}\)。

那么根据矩阵树定理，我们知道生成树的数量就是 \(\det(A - B)\)。然而直接高斯消元复杂度是 \(O(S^3)\) 的，难以接受。我们需要考虑如何优化 \(A\)。

考虑矩阵行列式引理，我们需要构造出两个 \((S - 1) \times m\) 的矩阵 \(A,B\)，使得 \(G = A \times B^T\)，那么根据矩阵行列式引理：\(\det(D-G) = \det(I - B^TD^{-1}A)\det(D)\)，其中 \(I\) 为单位矩阵。接下来的问题就变成了如何构造大小为 \((S - 1) \times m\) 的矩阵 \(A,B\)。

为了求出 \(A,B\) 后方便计算答案，我们令 \(m = 2 \times n - 1\)。

那么此时我们考虑用两个点来表示两个区间是否有交，不难发现其实就是相交的点数减相交的边数是否为 \(1\)。那么 \(F,G\) 的构造如下：

• \(F_{i,2 \times j - 1} = G_{i,2 \times j - 1} = [j \in [L_i,R_i]]\)

• \(F_{i,2 \times j} = -1 \times [[j,j + 1] \in [L_i,R_i]]\)

• \(G_{i,2 \times j} = [[j,j + 1] \in [L_i,R_i]]\)

那么我们就可以直接利用高斯消元 \(\mathrm O(m^3)\) 求出行列式的值。

T2.HAOI 2017 字符串

我们先考虑如何判断两个字符串 \(a,b\) 相似。很明显，条件为 \(|a| = |b|\) 且 \(\text{LCP}(a,b) + \text{LCS}(a,b) + k \ge |a|\)。其实就相当于把 \(b\) 中一个长度为 \(k\) 的子串换成通配符后和 \(a\) 相等。

此时我们可以考虑容斥，对于每一个 \(p_i\)，我们枚举长度为 \(k\) 和 \(k - 1\) 的区间换乘通配符，然后求出换完后的字符在 \(s\) 中的出现次数。然后通过一些计算就可以得出答案了。

具体的，我们对字符串的正串和反串建出一个 AC 自动机，并且记录文本串每一个每一个位置在 AC 自动机上的节点。

由于换成通配符之后，只剩下一个 \(\text{pre}\) 和一个 \(\text{suf}\)，一个 \(j\) 对于答案有贡献的要求就是 \(s\) 中以 \(j\) 为开头长度为 \(|\text{pre}|\) 的子串等于 \(\text{pre}\)，\(s\) 中以 \(j + |\text{pre}| + k\) 为开头，长度为 \(|\text{suf}|\) 的子串等于 \(\text{suf}\)。我们的任务就是求出这样的 \(j\) 的个数。

那么这个条件转移到树上就变成了 \(s\) 以 \(pos\) 为结尾的后缀在 AC 自动机上的节点在 fail 树上在 \(p_i\) 的前缀 \(j\) 在 AC 自动机上的节点子树之中。这是前缀的情况，后缀的情况同理。

那么我们只需要把 在某个点的子树内 这个限制转化为 DFS 序在某个区间内 这个限制，这样我们就可以使用二维数点来解决了。