2024.8 #5 午夜时分月上枝头 谁为谁心疼 一杯浊酒浇在心头 谁让谁心冷

午夜时分月上枝头
谁为谁心疼
一杯浊酒浇在心头
谁让谁心冷----洛天依《广寒宫》

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1.Choosing Ads

考虑最简单的情况，即 $p>50$。那么这个问题就是请问出现次数 $>{\displaystyle \frac{n}{2}}$ 的数。

Lemma：我们每次随机删除不相等的两个数，那么留下来的那个（那些）数就是答案。

Proof：假如答案 $x$ 出现了 $a$ 此，那么就有 $a>n-a$。那么假如删除了一个 $x$ 和另外一个数，那么两边都减一，则 $a-1>n-a-1$。那么如此，到最后的数就是答案。

那么我们扩展到 $p$ 更小的情况，我们每一次删除 $\lfloor {\displaystyle \frac{100}{p}}\rfloor +1$ 个数，那么最后剩下的数就是答案。同时我们知道 $p\ge 20$，那么我们只会留下 $5$ 个数，那么我们用一颗线段树来维护这五个值。

对于合并两个区间，我们可以直接暴力和并这 $5$ 个数。那么复杂度就是 $\mathrm{O}(n\log n)$。

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2.Equal Tree Sums

我们现在拉出来一个叶子结点，然后他的权值为 $x$，其余点的权值和为 $y$，那么我们就可以知道所有的点权，其形式为 $A_{i}x+B_{i}y$。那么最后把所有的点的权值加起来就有 $ax+b_y=y$ 的式子。然后我们把这个不定方程解出来就行了。

但是实际上最后那个式子一定是 $y=y$，也就是 $a=0,b=1$，那么就会得到 $x=1,y=0$ 的情况。然后这个题就解决了。