2024.7 #4 华夏风华 琢一番飞扬 待得开拓封疆 济沧桑 游目聘怀森森万象 沥肝胆 披阅九州的 风光

华夏风华 琢一番飞扬
待得开拓封疆 济沧桑
游目聘怀森森万象 沥肝胆
披阅九州的 风光

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1. P7470 [NOI Online 2021 提高组] 岛屿探险

我们可以发现这个东西可以拆成很多个子问题，然后累计合并，这个东西可以使用线段树合并来做。

先考虑 $b_i>d_j$ 的情况。那么答案就是 $\sum [a_i\oplus c_j\le d_j]$。我们把 $a_i$ 插入 $01\text{trie}$ 中。然后我们从上往下走，走到深度为 $h$ 的节点，那么代表他的值等于 $c_i\oplus d_j$ 的前 $h$ 位。然后我们考虑第 $h+1$ 位。

• $d_i=0$，那么 $a_i$ 和 $c_j$ 的第 $h+1$ 位必须相等，否则 $a_i\oplus c_j>d_j$，然后直接往这个方向走即可。

• $d_i=1$，那么此时 $a_i$ 和 $c_j$ 的第 $h+1$ 位任意取都行。那么就有两种可能：

  • 如果 $a_i$ 和 $c_j$ 的第 $h+1$ 位不一样，那么此时 $a_i$ 依然等于 $c_j\oplus d_j$，所以我们向这个方向继续走即可。
  • 如果 $a_i$ 和 $c_j$ 的第 $h+1$ 位一样，那么此时 $a_i\oplus c_j$ 就会一定小于 $d_j$ 了，那么对于答案的贡献就是这个子树里 $a_i$ 的个数之和。

这一部分就是 CF817E。比较简单。

接下来我们考虑 $b_i\le d_j$ 的情况。这一个部分比较困难。但是我们发现这一个部分和 $a_i\oplus c_j\le d_j$ 的结构很像，所以我们可以考虑类似的操作。

前面的是对于 $a_i$ 扔到 $01\text{trie}$ 上然后查询 $(c_j,d_j)$，那么我们这次就可以把 $c_j$ 扔到 $01\text{trie}$ 上，然后记录每一个 $(a_i,b_i)$ 对于 $c_j$ 的贡献。

具体的我们只需要把 $c_j$ 离线下来，然后对于 $(a_i,b_i)$ 查询，但是唯一的区别就是在上面我们遇到了一个节点满足 $a_i\oplus c_j<d_j$ 时我们加上的是子树里 $a_i$ 的个数和，而现在我们要在这一个子树打一个标记，让整一个子树全部都加上 $1$，然后统计答案是就是从根到 $c_j$ 路径上的标记和。

当然我们不能每一次都建 $2$ 个 $01\text{trie}$，但是那样子的复杂度爆炸，无法接受。

然后我们考虑如何优雅的计算多组数据。

首先我们将 $(a_i,b_i)$ 和 $(c_j,d_j)$ 按照 $b_i,d_j$ 升序排列。然后那双指针进行维护。此时我们开两个 $01\text{trie}$。然后当我们扫到了第 $j$ 个问题不满足 $b_j>d_j$ 的 $a_i$ 从维护第一个 $01\text{trie}$ 中删除，然后计算贡献。同时对于满足条件的 $(a_i,b_i)$ 加入维护第二个情况的 $01\text{trie}$ 上并且计算贡献。

当然此时两个指针都往右移动。

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2.Magic Breeding

我们先考虑特殊情况 $a_i\in \{0,1\}$。那么此时我们可以吧每一列看成一个 $01$ 串，而这种串至多有 $2^k$ 个。

然后我们发现取 $max$ 和两行取或一样，取 $min$ 和两行取与一样，那么两个初始一样的两列在经过若干操作后还是一样，那么我们扔一个 bitset 的来维护这些序列。

那么我们要怎把 $a_i$ 都变成 $\{0,1,\}$。我们对于每一列都离散化，让值域都在 $[1,k]$ 之间。然后将这一列每 $x$ 个数都拆成 $k$ 个 $\{0,1\}$。其中的前 $x$ 个数为 $1$，剩下的数
为 $0$。那么最终的时间复杂度为 $O({\displaystyle \frac{q\times 2^k}{w}})$。

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3.P5114 八月脸

截图选老婆

我们发现答案的形式是 $ka+b$，这个东西可以使用凸包维护。然后我们发现询问的答案和树上的路径有关，可以想到用点分治维护。

然后再点分治的过程中记录每一个点到根节点的点权和为 $a_x,b_x$。对于每一个根的每一个子树，我们都维护黑点和白点的凸包，那么答案就是这两个凸包的闵可夫斯基和。然后我们有三种维护方法。

1. 先不考虑两个点在同一棵子树的情况计算最后再容斥掉。
2. 逐子树加入，即考虑每棵子树对之前加入的子树的贡献。
3. 利用合并果子，每次取出 size 最小的两个凸包，然后把两个合并起来。那么复杂度是 $\log$ 的。

明显的，前两种的维护都十分复杂，我们在此选择第三种。然后求出最终的凸包后直接二分求出最大值即可。