好玩的数据结构qwq
从2024.7.29开始记录。代码不放可能是因为我没写。
1. P7470 [NOI Online 2021 提高组] 岛屿探险
我们可以发现这个东西可以拆成很多个子问题，然后累计合并，这个东西可以使用线段树合并来做。
先考虑 \(b_i > d_j\) 的情况。那么答案就是 \(\sum [a_i \oplus c_j \le d_j]\)。我们把 \(a_i\) 插入 \(01 \text{trie}\) 中。然后我们从上往下走，走到深度为 \(h\) 的节点，那么代表他的值等于 \(c_i \oplus d_j\) 的前 \(h\) 位。然后我们考虑第 \(h + 1\) 位。
-
\(d_i = 0\)，那么 \(a_i\) 和 \(c_j\) 的第 \(h + 1\) 位必须相等，否则 \(a_i \oplus c_j > d_j\)，然后直接往这个方向走即可。
-
\(d_i = 1\)，那么此时 \(a_i\) 和 \(c_j\) 的第 \(h + 1\) 位任意取都行。那么就有两种可能：
- 如果 \(a_i\) 和 \(c_j\) 的第 \(h + 1\) 位不一样，那么此时 \(a_i\) 依然等于 \(c_j \oplus d_j\)，所以我们向这个方向继续走即可。
- 如果 \(a_i\) 和 \(c_j\) 的第 \(h + 1\) 位一样，那么此时 \(a_i \oplus c_j\) 就会一定小于 \(d_j\) 了，那么对于答案的贡献就是这个子树里 \(a_i\) 的个数之和。
这一部分就是 CF817E。比较简单。
接下来我们考虑 \(b_i \le d_j\) 的情况。这一个部分比较困难。但是我们发现这一个部分和 \(a_i \oplus c_j \le d_j\) 的结构很像，所以我们可以考虑类似的操作。
前面的是对于 \(a_i\) 扔到 \(01 \text{trie}\) 上然后查询 \((c_j,d_j)\)，那么我们这次就可以把 \(c_j\) 扔到 \(01 \text{trie}\) 上，然后记录每一个 \((a_i,b_i)\) 对于 \(c_j\) 的贡献。
具体的我们只需要把 \(c_j\) 离线下来，然后对于 \((a_i,b_i)\) 查询，但是唯一的区别就是在上面我们遇到了一个节点满足 \(a_i \oplus c_j < d_j\) 时我们加上的是子树里 \(a_i\) 的个数和，而现在我们要在这一个子树打一个标记，让整一个子树全部都加上 \(1\)，然后统计答案是就是从根到 \(c_j\) 路径上的标记和。
当然我们不能每一次都建 \(2\) 个 \(01 \text{trie}\)，但是那样子的复杂度爆炸，无法接受。
然后我们考虑如何优雅的计算多组数据。
首先我们将 \((a_i,b_i)\) 和 \((c_j,d_j)\) 按照 \(b_i,d_j\) 升序排列。然后那双指针进行维护。此时我们开两个 \(01 \text{trie}\)。然后当我们扫到了第 \(j\) 个问题不满足 \(b_j > d_j\) 的 \(a_i\) 从维护第一个 \(01 \text{trie}\) 中删除，然后计算贡献。同时对于满足条件的 \((a_i,b_i)\) 加入维护第二个情况的 \(01 \text{trie}\) 上并且计算贡献。
当然此时两个指针都往右移动。
2.The Third Grace
*3200。首先你需要知道 KTT，不会的话请做 P5693。
考虑 dp。我们定义 \(dp_i\) 为我们最后一个激活的点为 \(i\) 的最大权值，但是其中不包括 \(i\) 的贡献。
应为我们不会算当前点的贡献，所以我们可以增加一个虚点 \(m + 1\)，那么答案就是 \(dp_{m + 1}\)。
然后我们考虑如何转移。
我们枚举下一个激活的点的位置。因为我们现在加的是 \(i\) 对于答案的贡献，那么 \(dp_j = \max(dp_j,dp_i + \sum_{l = 1}^n \sum_{r = 1}^n [l \le i \le r < j] \times p_i)\)。
然后扫描线一下，对于所有的 \(x\) 维护所有 \(y\) 的贡献，最后取 \(\max\) 即可。
接着我们发现贡献的式子是一个一次函数 \(y_i = k_i x_i + b_i\)。那么我们需要维护三种操作：
-
全局求 \(\max(y_i)\)。
-
对于一个区间 \([l,r]\)，让里面的所有 \(x_i\) 都加上 \(1\)。
-
单点修改 \(b_i\)。
我们用 KTT 来维护这些一次函数，时间复杂度为 \(\mathrm O(m \log^3 m)\)。
