2024.7 #3 我从不怕摔倒 拼命向前跑 把每一天过好 和大家拥抱

我从不怕摔倒
拼命向前跑
把每一天过好
和大家拥抱----乐正绫《万圣街》

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T1. P5572 [CmdOI2019] 简单的数论题

和毒瘤之神的考验类似的毒瘤题。

首先先化简原式：

$$\begin{array}{l}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\phi ({\displaystyle \frac{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(i,j)}{gcd(i,j)}})=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\phi ({\displaystyle \frac{i\times j}{gcd(i,j{)}^2}})\\ =\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\phi ({\displaystyle \frac{i\times j}{d^2}})[gcd(i,j)==d]\\ =\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\phi (i\times j)[gcd(i,j)==1]\\ =\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\phi (i)\times \phi (j)[gcd(i,j)==1]\\ =\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\phi (i)\times \phi (j)\sum _{p\mid gcd(i,j)}\mu (p)\\ =\sum _{d=1}^n\sum _{p=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\mu (p)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\mu (i)\mu (j)[p\mid i][p\mid j]\\ =\sum _{d=1}^n\sum _{p=1}^{\lfloor \frac{d}{n}\rfloor }\mu (p)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{pd}\rfloor }\phi (ip)\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{pd}\rfloor }\phi (jp)\\ =\sum _{T=1}^n\sum _{p|T}\mu (p)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor }\mu (ip)\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{T}\rfloor }\phi (jp)\end{array}$$

然后我们设 $G(x,y)=\sum _{i=1}^x\phi (iy)$。那么原式子就变为 $\sum _{T=1}^n\sum _{p|T}\mu (p)G(\lfloor \frac{n}{T}\rfloor ,p)G(\lfloor \frac{m}{T}\rfloor ,p)$。

然后我们定义 $H(x,y,z)=\sum _{T=1}^z\sum _{p|T}\mu (p)G(x,p)G(y,p)$。

接着我们就可以用毒瘤之神的考验的套路了。用根号分支来求 $H$，具体的我们设置一个阈值 $B$，将所有 $\le B$ 的 $H$ 都提前预处理出来，然后对于 $\ge B$ 的部分，我们可以在查询时利用整除分块计算。

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T2. P3911 最小公倍数之和

又是推式子题，好欸好欸好欸！虽然说大多数步骤都是类似的，但是还是有许多细节。

首先问们定义 $c_i$ 表示 $i$ 的出现次数，$n$ 为最大值。那么就有：

$$\begin{array}{l}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{c}_i\times c_j\times \mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(\mathrm{i},\mathrm{j})\\ =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{c}_i\times c_j\times {\displaystyle \frac{i\times j}{gcd(i,j)}}\\ =\sum _{i=1}^k\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{c}_i\times c_j\times {\displaystyle \frac{i\times j}{k}}[gcd(i,j)==k]\\ =\sum _{i=1}^k\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor }{c}_{ik}\times c_{jk}\times i\times j\times k[gcd(i,j)==1]\\ =\sum _{i=1}^k\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor }\sum _{d\mid gcd(i,j)}\mu (d)c_{ik}\times c_{jk}\times i\times j\times k\\ =\sum _{i=1}^k\sum _{kd=1}^n\mu (d)\times d^2\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{kd}\rfloor }{c}_{ikd}\times c_{jkd}\times i\times j\times k\\ =\sum _{T=1}^{n}T(\sum _{d|T}\mu (d)\times d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{T}\rfloor }{c}_{iT}\times c_{jT}\times i\times j\\ =\sum _{T=1}^{n}T(\sum _{d|T}\mu (d)\times d)(\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor }{c}_{iT}\times i{)}^2\end{array}$$

然后第一个预处理，后面的暴力算即可。

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T3. CF911G Mass Change Queries

我们发现 $a_i\le 100$，所以我们可以建出 $100$ 棵线段树，然后我们只需要维护这些线段树即可。我们把所有 $a_i=x$ 的 $i$ 放到第 $x$ 个线段树上。

然后我们考虑怎么维护更改操作。其实就是把 $x$ 线段树上在 $[l,r]$ 之间的点合并到 $y$ 上，这样子对于所有在 $[l,r]$ 的点并且 $a_i=x$ 的 $i$ 就全部移到了 $y$ 线段树上。