2024.7 #2 幻想现实交映辉耀 朝向命运刻下惊叹号 要我 的骄傲 随生命喧嚣

幻想现实交映辉耀
朝向命运刻下惊叹号
要我 的骄傲
随生命喧嚣


T1.CF452F Permutation

先抛出一个结论对于固定的 i,ai+2a×ki2a×k 在同一侧。

那么既然 k 是一步一步向外扩展的,那么这个东西一定是前缀或者是后缀。而我们要判断的相当于是,对于每个 ia,是否这些前缀或后缀上的数的下标是否都大于或都小于 i 的下标,并且这些数都是 mod2a+1 的同余类。然后我们就可以枚举 a。接着处理这些前缀与后缀上的数的下标的最大值和最小值,然后进行判定即可。


T2. CF1924D Balanced Subsequences

我们定义 ci 为加入第 i 个字符后还需要匹配的左括号的数目。

  • 若第 i 个是左括号,ci=ci1+1

  • 否则当 c>0 时,ci=ci11

那么没有计入答案的右括号总共有 mk 个,即经过此次操作 c 仍然保持 0 不变。如果这个时候选择了 1,那么之后的 cj 都要 1。转换一下可得 cj=mini=1n=km

然后我们将 (i,ci) 放到平面上,那么就等同于:

  • (0,0)(n+m,nm),每一次向右上或者右下走一格。

  • 路径经过 y=km,且 mini=1nci=km

但是我们可以把整一个平面旋转 45 度。

那么就变成了

  • (0,0)(n,n),每一次向右或者上走一格。

  • 路径经过 y=(km)+x,且不能经过这个函数的右边。

第二条可以转化为经过直线 y=(km)+x 的路径数 - 经过直线 y=(km)+x1 的路径数。

对于一条直线的答案,我们直接把 (n,m) 关于直线对称后到了 (n2,m2),然后答案就转化为 (0,0)(n2,m2) 的路径数了。

那么最终的答案就是 (kn+m)(k1n+m)


T3.[ABC290F] Maximum Diameter

神仙题目。

我们只需要考虑 ai=2n2 并且 ai>0 的序列即可。

先考虑最大化树的直径,假如说 a 中有 k1,即最后的树上一共有 k 个儿子节点,那么我们只需要把剩下的 nk 个点排成一条链,然后再向两端加上两个叶子节点,剩余的叶子节点补到链上度数不够的节点。这样子直径的长度就是 nk+1。然后我们考虑怎么计数。枚举 k,那么叶子节点的选择方案数显然为 (nk)。如此一来剩下的节点的度数和就是 2n2k,剩下的节点数就是 nk。那么就相当于把 2n2k 个球放到 nk 个盒子里面,并且每一个盒子至少有 1 个球。那么其数量就为:

((2n2k)2(nk)+(nk)1(2n2k)2(nk))=(n3k2)

那么在乘上链的长度,最终的答案就是 i=1n(nk)(n3k2)(nk+1),但是这个东西求一次要 O(n) 的复杂度,难以接受。

在继续化简的前面,我们需要了解两个式子:

  • 吸收恒等式:k(nk)=n(n1k1)

  • 范德蒙卷积:k=0k(ni)(mki)=(n+mk)

上面两个都很好证明,在这里就不给证明了。然后就可以对于上面的式子进行化简了。

k=1n(nk)(n2k2)(nk+1)=k=1n(nk)(n2k2)(k2+1n)=k=1n(nk)(n2k2)(k2)+(n1)k=1n(nk)(n2k2)=(n1)k=1n(nk)(n2k2)(n3)k=1n(nk)(n4k3)=(n1)k=1n(nk)(n3nk1)(n3)k=1n(nk)(n4nk1)=(n1)(2n3n1)(n3)(2n4n3)

然后这样子就可以 O(1) 求出答案了。


T4. CF1267G Game Relics

我们的一个最优选项是,能抽卡的抽卡,不能抽出来的就去买。假如说我们当前有了 i 张牌,那么抽出下一张牌就要抽 nni 次。

除了最后一次之外,其他的次数都可以让我们获得 x2 的回馈,最后一次消耗 x 获得新卡,则期望消耗 (nni1)×x2+x

接着寻找抽卡与买的分界线。考虑把所有直接购买的花费均摊到每次之中。然后我们此时已有的价值为 w1,价值总和为 w,那么单次消耗 ww1ni。那么判定条件就是: ww1ni<(nni1)×x2+x

然后我们设 ai,j 为选了 i 张牌,已经有了价值为 j 的事件。dpi,j 为其组合数量,那么答案就是 dpi,j(ni)

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