莫比乌斯函数和莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

定义莫比乌斯函数为 \(\mu(n) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ (-1)^r && n = p_1 \times p_2 \times p_3 \cdots \cdots p_r \\ 0 & \text {其他} \end{cases}\)。

定理: \(\sum_{d|n} \mu(d) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}\)。

莫比乌斯反演

如果 \(f\) 为算数函数，\(F\) 为 \(f\) 的和函数，对于任意的 \(n\)，满足 \(F(n) = \sum_{d|n} f(d)\)，则有 \(f(n) = \sum_{d|n} \mu(d) F(\dfrac{n}{d})\)。

然后就没啦。题目啥的还是移步我的 Math Record 吧。