「网络流24题」 16. 数字梯形问题
「网络流24题」 16. 数字梯形问题
写在前面
我没坑网络流 24 题！我来填坑了！
这个模型是「最大权不相交路径」，实现方法是最大费用最大流。
我的理解是用「最大流」这个工具去限制选点，用「费用」去描述每个点，最后取「最大费用」。
建图麻烦，跑板子简单。
第一问
点和边都不相交。
套路拆点，每个点拆成 X 和 Y，然后 X 向 Y 连边，容量为 \(1\)，费用为这个数。这条边流了，就代表选了这个点。
每个点的 Y 向这个点能到的点的 X 连边。
源点向最上层的 X 连边，最下层的 Y 向汇点连边，容量都为 \(1\)，费用都为 \(0\)。
第二问
点可以相交，边不行。
这就不用拆点了，直接连。
源点连的边不变。
每个点向能到的点连边，容量为 \(1\)，费用为这个数。
最下层直接连汇点，容量为 INF（点可以相交，所以最下层的点可能走过很多次），费用为这个数。
第三问
点和边都可以相交。
在第二问的基础上，把点之间的边，容量由 \(1\) 改为 INF，其余和第二问一样。
每次建一个图跑 MCMF，算出的最大费用就是答案。
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using std::fill;
using std::max;
using std::min;
using std::queue;
const int MAXN=1200,INF=0x3f3f3f3f;
int m,n,S,T,cnt,a[30][30],num[30][30];
struct Edge
{
int to,w,f;
Edge *nxt,*back;
Edge(int to,int w,int f,Edge* nxt):to(to),w(w),f(f),nxt(nxt),back(nullptr){}
~Edge(void)
{
if(nxt!=nullptr)
delete nxt;
}
}*head[MAXN];
void AddEdges(int u,int v,int w,int f)
{
head[u]=new Edge(v,w,f,head[u]);
head[v]=new Edge(u,0,-f,head[v]);
head[u]->back=head[v];
head[v]->back=head[u];
}
void Init(void)
{
for(int i=S;i<=T;++i)
head[i]=nullptr;
}
void Build(int opt)
{
Init();
for(int i=1;i<=m;++i)
AddEdges(S,num[1][i],1,0);
for(int i=1;i<n;++i)
for(int j=1;j<m+i;++j)
if(opt==1)
{
AddEdges(num[i][j],num[i][j]+cnt,1,a[i][j]);
AddEdges(num[i][j]+cnt,num[i+1][j],1,0);
AddEdges(num[i][j]+cnt,num[i+1][j+1],1,0);
}
else
{
bool t=opt==2;
AddEdges(num[i][j],num[i+1][j],t ? 1 : INF,a[i][j]);
AddEdges(num[i][j],num[i+1][j+1],t ? 1 : INF,a[i][j]);
}
for(int i=1;i<m+n;++i)
if(opt==1)
{
AddEdges(num[n][i],num[n][i]+cnt,1,a[n][i]);
AddEdges(num[n][i]+cnt,T,1,0);
}
else
AddEdges(num[n][i],T,INF,a[n][i]);
}
void Destroy(void)
{
for(int i=S;i<=T;++i)
delete head[i];
}
namespace MCMF
{
bool exist[MAXN];
int dis[MAXN],pre[MAXN],flow[MAXN];
Edge *pre_e[MAXN];
bool SPFA(int S,int T)就是答案
{
queue<int> q;
memset(exist,false,sizeof exist);
memset(dis,0xc0,sizeof dis);
memset(pre,0,sizeof pre);
memset(flow,0x3f,sizeof flow);
fill(pre_e,pre_e+T+1,nullptr);
q.push(S);
exist[S]=1;
dis[S]=0;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
exist[u]=0;
for(Edge *i=head[u];i!=nullptr;i=i->nxt)
{
int v=i->to;
if(i->w && dis[v]<dis[u]+i->f)
{
if(!exist[v])
{
q.push(v);
exist[v]=1;
}
dis[v]=dis[u]+i->f;
pre[v]=u;
pre_e[v]=i;
flow[v]=min(flow[u],i->w);
}
}
}
return dis[T]!=0xc0c0c0c0;
}
void Run(int S,int T)
{
int ans=0;
while(SPFA(S,T))
for(int i=T;i!=S;i=pre[i])
{
Edge *t=pre_e[i];
t->w-=flow[T];
t->back->w+=flow[T];
ans+=t->f*flow[T];
}
printf("%d\n",ans);
}
}
int main(int argc,char** argv)
{
scanf("%d %d",&m,&n);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<m+i;++j)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
num[i][j]=++cnt;
}
S=0,T=(cnt<<1)+1;
for(int i=1;i<=3;++i)
{
Build(i);
MCMF::Run(S,T);
Destroy();
}
return 0;
}
谢谢阅读。
