[Luogu 3707] SDOI2017 相关分析
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前言
Capella 和 Frank 一样爱好天文学。
她常在冬季的夜晚，若有所思地望着东北方上空的五边形中，最为耀眼的一个顶点。
那一抹金黄曾带给她多少美好的遐想！
直到有一天，她做了这一题，并饱受线段树的折磨。
概述
这是一道区间操作的题目，解法有线段树与分块等。
题主选择线段树进行讲解（因为没用分块写这题）。
准备与计算答案
首先要知道，线段树需要维护的数值有哪些。
先来看题目中所给的公式。
\(\bar x = \frac 1 {r-l+1} \sum_{i=l}^r x_i\)
\(\bar y = \frac 1 {r-l+1} \sum_{i=l}^r y_i\)
\(\hat a = \frac{\sum_{i=l}^r (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_{i=l}^r (x_i - \bar x)^2}\)
将线性回归方程的公式展开得（\(\sum_{i=l}^r\) 省略为 \(\sum\)）：
\(\hat a = \frac{\sum (x_i y_i - \bar x y_i - \bar y x_i + \bar x \bar y)} {\sum (x_i^2 - 2\bar x x_i + \bar x^2)}\)
\(= \frac{\sum x_i y_i - \bar x \sum y_i - \bar y \sum x_i + (r-l+1) \bar x \bar y} {\sum x_i^2 - 2\bar x \sum x_i + (r-l+1) \bar x^2}\)
将 \(\bar x\)、\(\bar y\) 代入上式得：
\(\hat a = \frac{\sum x_i y_i - \frac{\sum x_i \sum y_i}{r-l+1} - \frac{\sum x_i \sum y_i}{r-l+1} + (r-l+1) \frac{\sum x_i}{r-l+1} \cdot \frac{\sum y_i}{r-l+1}} {\sum x_i^2 - \frac{2(\sum x_i)^2}{r-l+1} + (r-l+1) (\frac{\sum x_i}{r-l+1})^2}\)
\(= \frac{\sum x_i y_i - \frac{\sum x_i \sum y_i}{r-l+1}} {\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{r-l+1}}\)
由此可见，线段树需要维护的数值有 \(\sum x_i^2\)、\(\sum x_i y_i\)、\(\sum x_i\) 以及 \(\sum y_i\)。
设 \(v_0 = \sum x_i^2, v_1 = \sum x_i y_i, v_2 = \sum x_i, v_3 = \sum y_i\)，
则最终计算出的 \(\hat a = \frac{v_1 - \frac{v_2 v_3}{r-l+1}}{v_0 - \frac{v_2^2}{r-l+1}}\)。
区间加操作
进行区间加操作时，设 \(x\) 的变化量为 \(S\)，\(y\) 的变化量为 \(T\)，则各个标记的下传过程如下：
\(\sum (x_i + S)^2 = \sum (x_i^2 + 2Sx_i + S^2)\)
\(= \sum x_i^2 + 2S \sum x_i + (r-l+1)S^2\)
\(\sum (x_i+S)(y_i+T) = \sum (x_i y_i + Sy_i+Tx_i+ST)\)
\(=\sum x_i y_i + S \sum y_i + T \sum x_i + (r-l+1)ST\)
\(\sum (x_i+S) = \sum x_i + (r-l+1)S\)
\(\sum (y_i+T) = \sum y_i +(r-l+1)T\)
特别注意：由于更新 $\sum x_i^2 $ 与 \(\sum x_i y_i\) 时，需要用到更新前的 \(\sum x_i\) 与 \(\sum y_i\) 的值，所以应注意顺序。
区间修改操作
前置技能
\(1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)} 6\)
转化
试图将区间修改操作转化为区间加操作。
对于 \(i \in [l,r]\)，\(x_i\) 改为 \(S+i\)，\(y_i\) 改为 \(T+i\)，
相当于将 \(i \in [l,r]\) 的每个 \(x_i\) 与 \(y_i\) 都改为 \(i\) ，
\(\sum x_i^2 = \sum y_i^2 = \sum i^2 = \frac {r(r+1)(2r+1)} 6 - \frac {l(l-1)(2l-1)} 6\)（即 \(\sum_{i=1}^r i^2 -\sum_{i=1}^{l-1} i^2\)）
\(\sum x_i = \sum y_i = \sum i = \frac {(r-l+1)(l+r)} 2\)（\(r-l+1\) 为区间元素个数，\(\frac {l+r} 2\) 为区间平均值）
然后清空Lazy Tag（无论区间曾经加了多少都没有用，将被统一修改）。
维护操作
清空Lazy Tag后，对区间 \([l,r]\) 进行区间加操作，即：每个 \(x_i\) 加上 \(S\)，每个 \(y_i\) 加上 \(T\)。
更新过程与区间加操作完全相同。
最后还要打上标记c，表示此区间的子区间需要区间修改操作。
注意事项
-
一定记得下传
Lazy Tag与c标记，我就是因为没传才调了一上午+一下午+半个晚上的。 -
本题下传标记部分较为复杂，请一定注意顺序。
结束语
这道题有点像《HAOI2012 高速公路》啊。
线段树这种东西，多推一推也就熟悉啦。
加油，各位队友；加油，自己。
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int MAXN=100010;
double x[MAXN],y[MAXN];
int n,m;
class SegmentTree
{
public:
void Build(int i,int l,int r)
{
s[i]=node(l,r);
if(l==r)
{
s[i].v[0]=x[l]*x[l],s[i].v[1]=x[l]*y[r],s[i].v[2]=x[l],s[i].v[3]=y[r];
return;
}
int j=i<<1,mid=l+r>>1;
Build(j,l,mid),Build(j|1,mid+1,r),PushUp(i);
}
void Add(int i,int l,int r,double S,double T)
{
if(l==s[i].l && r==s[i].r)
{
AddModify(i,S,T);
return;
}
if(s[i].l^s[i].r)
PushDown(i);
int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
if(r<=mid)
Add(j,l,r,S,T);
else if(l>mid)
Add(j|1,l,r,S,T);
else
Add(j,l,mid,S,T),Add(j|1,mid+1,r,S,T);
PushUp(i);
}
void Change(int i,int l,int r,double S,double T)
{
if(l==s[i].l && r==s[i].r)
{
ChangeModify(i),AddModify(i,S,T);
return;
}
if(s[i].l^s[i].r)
PushDown(i);
int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
if(r<=mid)
Change(j,l,r,S,T);
else if(l>mid)
Change(j|1,l,r,S,T);
else
Change(j,l,mid,S,T),Change(j|1,mid+1,r,S,T);
PushUp(i);
}
double Ans(double l,double r)
{
double size=r-l+1;
memset(ans,0,sizeof ans);
Sum(1,l,r);
return (ans[1]-ans[2]*ans[3]/size)/(ans[0]-ans[2]*ans[2]/size);
}
private:
double ans[4];
struct node
{
bool c;
double S,T,v[4];
int l,r;
node(int _l=0,int _r=0)
{
l=_l,r=_r,c=S=T=0;
}
}s[MAXN<<2];
double Calc(double i)
{
return i*(i+1)*(2*i+1)/6;
}
void AddModify(int i,double S,double T)
{
double size=double(s[i].r-s[i].l+1);
s[i].v[0]+=S*S*size+2*S*s[i].v[2];
s[i].v[1]+=S*T*size+S*s[i].v[3]+T*s[i].v[2];
s[i].v[2]+=S*size;
s[i].v[3]+=T*size;
s[i].S+=S,s[i].T+=T;
}
void ChangeModify(int i)
{
double l=double(s[i].l),r=double(s[i].r);
s[i].v[0]=s[i].v[1]=Calc(r)-Calc(l-1),s[i].v[2]=s[i].v[3]=(r-l+1)*(l+r)/2,s[i].c=1,s[i].S=s[i].T=0;
}
void PushUp(int i)
{
int l=i<<1,r=l|1;
for(int k=0;k<4;++k)
s[i].v[k]=s[l].v[k]+s[r].v[k];
}
void PushDown(int i)
{
int l=i<<1,r=l|1;
if(s[i].c)
ChangeModify(l),ChangeModify(r);
AddModify(l,s[i].S,s[i].T),AddModify(r,s[i].S,s[i].T);
s[i].c=s[i].S=s[i].T=0;
}
void Sum(int i,int l,int r)
{
if(l==s[i].l && r==s[i].r)
{
for(int k=0;k<4;++k)
ans[k]+=s[i].v[k];
return;
}
if(s[i].l^s[i].r)
PushDown(i);
int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
if(r<=mid)
Sum(j,l,r);
else if(l>mid)
Sum(j|1,l,r);
else
Sum(j,l,mid),Sum(j|1,mid+1,r);
}
}SgT;
int main(int argc,char *argv[])
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%lf",&x[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%lf",&y[i]);
SgT.Build(1,1,n);
for(int i=1,opt,l,r;i<=m;++i)
{
double S,T;
scanf("%d %d %d",&opt,&l,&r);
switch(opt)
{
case 1:
printf("%.10lf\n",SgT.Ans(l,r));
break;
case 2:
scanf("%lf %lf",&S,&T);
SgT.Add(1,l,r,S,T);
break;
case 3:
scanf("%lf %lf",&S,&T);
SgT.Change(1,l,r,S,T);
break;
}
}
return 0;
}
谢谢阅读。
