C1002 泥泞的牧场题解

题目描述

大雨侵袭了牧场。牧场是一个 R×C 的矩形，其中 1≤R，C≤50。大雨将没有长草的土地弄得泥泞不堪，可是小心的奶牛们不想在吃草的时候弄脏她们的蹄子。 为了防止她们的蹄子被弄脏，农场主决定在泥泞的牧场里放置一些木板。每一块木板的宽度为 1 个单位，长度任意。每一个板必须放置在平行于牧场的泥地里。农场主想使用最少的木板覆盖所有的泥地。一个木板可以重叠在另一个木板上，但是不能放在草地上。

输入格式

第一行：两个整数 R 和 C。

第二行到第 R+1 行：第 i+1 行有 C 个字符串，表示第 R 的地形，“*”
代表泥地，“.”代表草地。

输出格式

一个整数：表示最少需要多少木板。

40pts

暴力dfs，枚举每个泥泞，看是往上、下、左、右哪个方向延伸。最坏复杂度 nm×4nm，基本无法得分。但我们可以在此基础上进行最优性剪枝（在当前答案大于全局答案时返回）、跳过草地、特判单个泥泞、特判狭窄泥泞、特判左向 left−right−single 、右向 up−down−single和使用栈等一系列的优化来获得 60 分的好成绩。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <bits/extc++.h>
#define INF 0x7fffffff
#define MAXN 100005
#define eps 1e-9
#define foru(a,b,c)	for(int a=b;a<=c;a++)
#define RT return 0;
#define db(x)	cout<<endl<<x<<endl;
#define LL long long
#define LXF int
#define RIN rin()
#define HH printf("\n")
using namespace std;
inline LXF rin(){
	LXF x=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){ 
	if(ch=='-') w=-1;
	ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
	x=x*10+(ch-'0');
	ch=getchar();
	}
	return x*w;
}
int n,m;
int a[70][70];
int ans=INF;
void draw(){
	foru(i,1,n){
		foru(j,1,m){
			cout<<a[i][j]<<' ';
		}
		HH;
	}
}
class Node{
	public:
		int x,y;
};
void dfs(int x,int y,int as){
	if(as>=ans)		return ;
	if(x==n+1){//end
		ans=min(ans,as);
		return ;
	}
	
	
	if(a[x][y]!=1){//continue
		if(y==m)	dfs(x+1,1,as);
		else	dfs(x,y+1,as);
		return ;
	}
	if(a[x-1][y]==0 && a[x+1][y]==0 && a[x][y+1]==0 && a[x][y-1]==0){//single_check
		a[x][y]=2;
		if(y==m)	dfs(x+1,1,as+1);
		else	dfs(x,y+1,as+1);
		a[x][y]=1;
		return ;
	}
	stack<Node> s;//recover
	
	if(a[x-1][y]==0 && a[x+1][y]==0){//up-down-single
		for(int i=y;;i--){
			if(a[x][i]==0){
				break;
			}
			if(a[x][i]==1)	s.push((Node){x,i});
			a[x][i]=2;
		}
		if(y==m)	dfs(x+1,1,as+1);
		else	dfs(x,y+1,as+1);
		
		while(!s.empty()){
			a[s.top().x][s.top().y]=1;
			s.pop();
		}
		for(int i=y;;i++){
			if(a[x][i]==0){
				break;
			}
			if(a[x][i]==1)	s.push((Node){x,i});
			a[x][i]=2;
		}
		if(y==m)	dfs(x+1,1,as+1);
		else	dfs(x,y+1,as+1);
		
		while(!s.empty()){
			a[s.top().x][s.top().y]=1;
			s.pop();
		}
		return ;
	}
	
	if(a[x][y-1]==0 && a[x][y+1]==0){//left-right-single
		for(int i=x;;i--){
			if(a[i][y]==0){
				break;
			}
			if(a[i][y]==1)	s.push((Node){i,y});
			a[i][y]=2;
		}
		if(y==m)	dfs(x+1,1,as+1);
		else	dfs(x,y+1,as+1);
		
		while(!s.empty()){
			a[s.top().x][s.top().y]=1;
			s.pop();
		}
		for(int i=x;;i++){
			if(a[i][y]==0){
				break;
			}
			if(a[i][y]==1)	s.push((Node){i,y});
			a[i][y]=2;
		}
		if(y==m)	dfs(x+1,1,as+1);
		else	dfs(x,y+1,as+1);
		
		while(!s.empty()){
			a[s.top().x][s.top().y]=1;
			s.pop();
		}
		return ;
	}
	
	
	//last,all
	//do x
	for(int i=x;;i--){
		if(a[i][y]==0){
			break;
		}
		if(a[i][y]==1)	s.push((Node){i,y});
		a[i][y]=2;
	}
	if(y==m)	dfs(x+1,1,as+1);
	else	dfs(x,y+1,as+1);
	
	while(!s.empty()){
		a[s.top().x][s.top().y]=1;
		s.pop();
	}
	for(int i=x;;i++){
		if(a[i][y]==0){
			break;
		}
		if(a[i][y]==1)	s.push((Node){i,y});
		a[i][y]=2;
	}
	if(y==m)	dfs(x+1,1,as+1);
	else	dfs(x,y+1,as+1);
	
	while(!s.empty()){
		a[s.top().x][s.top().y]=1;
		s.pop();
	}
	
	
	
	//do y
	for(int i=y;;i--){
		if(a[x][i]==0){
			break;
		}
		if(a[x][i]==1)	s.push((Node){x,i});
		a[x][i]=2;
	}
	if(y==m)	dfs(x+1,1,as+1);
	else	dfs(x,y+1,as+1);
	
	while(!s.empty()){
		a[s.top().x][s.top().y]=1;
		s.pop();
	}
	for(int i=y;;i++){
		if(a[x][i]==0){
			break;
		}
		if(a[x][i]==1)	s.push((Node){x,i});
		a[x][i]=2;
	}
	if(y==m)	dfs(x+1,1,as+1);
	else	dfs(x,y+1,as+1);
	
	while(!s.empty()){
		a[s.top().x][s.top().y]=1;
		s.pop();
	}
}
signed main(){
	// freopen("cover.in","r",stdin);
	// freopen("cover.out","w",stdout);
	n=RIN,m=RIN;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		string s;
		cin>>s;
		for(int j=0;j<m;j++){
			if(s[j]=='*'){
				a[i][j+1]=1;
			}
		}
	}
	dfs(1,1,0);
	cout<<ans;
	return 0;
}

100pts

考虑按照套路进行建模。

我们把所有的泥地分成若干个横连通块和纵连通块，把他们分别作为二分图的左右两部分。泥泞意味着把泥泞所在的横连通块和纵联通块连边。于是我们要找到最少的木板，变成了一个最小点覆盖问题。所以直接求二分图最大匹配即可。

为什么是最小点覆盖呢？因为我们每找到一个点，就相当于选中了一个“横/纵联通块”，放置了一块木板，而在二分图里的“被控制”的边，对应到题目就代表着“这个联通块上的泥泞已经被木板覆盖”，所以可以用最小点覆盖解决。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <bits/extc++.h>
#define INF 0x7fffffff
#define MAXN 100005
#define eps 1e-9
#define foru(a,b,c)	for(int a=b;a<=c;a++)
#define RT return 0;
#define db(x)	cout<<endl<<x<<endl;
#define LL long long
#define LXF int
#define RIN rin()
#define HH printf("\n")
using namespace std;
inline LXF rin(){
	LXF x=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){ 
	if(ch=='-') w=-1;
	ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
	x=x*10+(ch-'0');
	ch=getchar();
	}
	return x*w;
}
int n,m,xx,yy;
int a[70][70],b[70][70];
bool c[70][70];
int ans=0;
const int MAXM=500005;
class Edge{
	public:
		int v,w,nxt;
}e[MAXM<<1];
int ehead[MAXN],ecnt;
inline void add_e(int u,int v,int w=0){e[++ecnt]={v,w,ehead[u]},ehead[u]=ecnt;}
bool vis[MAXN];
int match[MAXN];
bool find(int x){
	for(int i=ehead[x];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].v;
		if(vis[v])	continue;
		vis[v]=1;
		if(match[v]==0 || find(match[v])){
			match[v]=x;
			return true;
		}
	}
	return false;
}
signed main(){
	n=RIN,m=RIN;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		string s;
		cin>>s;
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(s[j-1]=='*'){
				c[i][j]=true;
				if(j>1&&c[i][j-1]){
					a[i][j]=a[i][j-1];
				}else{
					a[i][j]=++xx;
				}
				if(i>1&&c[i-1][j]){
					b[i][j]=b[i-1][j];
				}else{
					b[i][j]=++yy;
				}
			}
		}
	}
	foru(i,1,n){
		foru(j,1,m){
			if(c[i][j]){
				add_e(a[i][j],b[i][j]+xx+1);
				add_e(b[i][j]+xx+1,a[i][j]);
			}
		}
	}
	foru(i,1,xx){
		memset(vis,0,sizeof vis);
		if(find(i)){
			ans++;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}
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