前置技能

splay: 必须

树链剖分: 可选，知道树链剖分会容易理解一些。

以下大部分图片来自https://blog.csdn.net/saramanda/article/details/55253627

Link Cut Tree(LCT)

LCT，~~又叫林克-卡特树，~~可以用来解决动态树问题。

LCT显然是一棵树，它长这样：

lct-1

这上面有一些粗一点的边，我们把它称为重边；还有一些细一点的，我们把它称为轻边。（就像树链剖分的定义）

每个点连向儿子的重边最多只能有1条（可以没有），因此所有的重边能构成树上的一条一条链，叫做重链。

连到重边的儿子叫做~~嫡长子~~**重儿子**。

例如上面这个图，1-2-5, 3-7, 4, 6, 8就分别是这棵树的重链。

但是与树链剖分不同的是，LCT中的重边和轻边是可以不断变化的，甚至边/根也可以不断变化，因此我们需要一种灵活一点的数据结构来维护重链，那就是splay啦。

LCT节点的最基本的定义：

struct node
{
    node *son[2],*fa;
    int rev;
};

splay的维护

一棵splay维护LCT的一条重链，splay维护的关键字是点的深度，一个点深度越浅，在平衡树中的位置就越靠左。

那么LCT就可以视为一棵splay森林，如下：

lct-2

其中三角形代表一棵splay，也代表了原树中的一条重链。

箭头什么意思呢？箭头指向重链最顶端的点的父亲，但是起始点是代表重链的splay的root，可以理解为splay的父亲，但是splay的父亲不记录它有这个儿子。（这条边是单向的）

例如在第一个图中，3-7这条重链的splay的父亲就是1，但是1的左儿子或右儿子并没有记录3-7这条重链的任何一个点。

那么如何判定一个节点是所在splay的根呢？

我们可以写一个isroot函数，返回1代表是所在splay的根，0代表不是：

int isroot(int x)
{
    if(x->fa==NULL)
    {
        return 1;
    }
    return !((x->fa->son[0]==x)||(x->fa->son[1]==x));
}

access

这个词好像没啥好的翻译~~，不妨称为废嫡立庶~~。

用法：access(x)

含义：专门打通一条从真实的*LCT树上开辟的从根到x的重链，专门用一棵splay维护。与这条路径上的点相连的任何其他重边都会被强行变成轻边*。

做法：

记录一个y，初始时y为NULL.
取x所在splay，将x旋到根后，删除右儿子。

这样做的目的是为了删除x的重儿子。（废嫡）
将y接到x的右儿子上，这样就把x和y所在的重链接到一起了（立庶）
将y=x,x变成所在splay的父亲。回到第2步。

这样就打通了一条从root到x的重链。

代码：

int access(node *x)
{
  node *y=NULL;
  while(x!=NULL)
    {
      splay::splay_root(x);
      splay::pushdown(x);
      x->son[1]=y; //这里用y自动把x的右儿子冲掉了
      if(y!=NULL)
        {
          y->fa=x;
        }
      //如果LCT维护了信息，记得在这里更新
      //splay::updata(x);
      y=x;
      x=y->fa;
    }
  return 0;
}

makeroot

用法：makeroot(x)

含义：将x变成整棵LCT的根，一般用于与access配合，形成打通任意两个点的效果。

方法：

将x变成根，只需要将从root到x的父子关系反向。

首先access(x)，这样就有一条从root到x的重链。

makeroot-1

如图，可以发现这棵树上root到x的点构成了一棵splay，由于splay的关键字是深度，因此只需要将splay翻转，就将x变成了LCT的根。

makeroot-2

代码：

int makeroot(node *x)
{
  access(x);
  splay::splay_root(x); //将x提到splay的根，这样只需要在x处打一个reverse标记就代表翻转了splay
  x->rev^=1;
  return 0;
}

link

用法：link(x,y)

含义：新建一条边x-y，将x所在LCT和y所在LCT连起来。

方法：

首先makeroot(y)，这时y所在LCT的根就变成了y，然后直接将y的父亲指向x。

代码：

  int link(node *x,node *y)
  {
    makeroot(x);
    x->fa=y;
    return 0;
  }

cut

用法：cut(x,y)

含义：删除边x-y，必须保证x-y这条边存在。（不存在的话加个特判就可以了）

方法：

将x变成根，access(y)，这时x和y所在splay中只有x,y两个点。可以直接断开这两个点的联系。

代码：

int cut(node *x,node *y)
{
  makeroot(x);
  access(y); //现在x和y的splay中只有x,y两个点了
  splay::splay_root(y); //将y作为splay的根
  splay::pushdown(y);
  y->son[0]=x->fa=NULL; //删掉x和y之间的边
  //splay::updata(y); //如果lct维护了信息，记得在这里更新
  return 0;
}

getval

用法：getval(x,y)

含义：查询x到y的树上路径中存储的信息

方法：

makeroot(y),access(x)，此时x,y的splay中的所有节点就是x-y路径上的节点。

代码：

int getval(node *x,node *y)
{
  makeroot(y);
  access(x);
  splay::splay_root(x);
  return x->val;
}

浅谈算法——LCT