BZOJ 4652 [Noi2016]循环之美

题目链接

https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4652

题解

容易发现，若$\frac{i}{j}$在$k$进制下为纯循环小数，那么必定有
$ik^l=i\mod{j}\\ k^l=1\mod{j}$
因此$\gcd(j,k)=1$。

那么题目要求的就是
$F(n,m,k)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]$
反演得到
$F(n,m,k)=\sum_{d|k}F(\frac{m}{d},n,d)$
边界条件
$F(0,m,k)=F(n,0,k)=0\\ F(n,m,1)=\sum_{i=1}^{\min(n,m)}\mu(i)\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{i}\rfloor$
注意需要记忆化。

代码

#include <map>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while((ch<'0')||(ch>'9'))
    {
      if(ch=='-')
        {
          f=-f;
        }
      ch=getchar();
    }
  while((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
      x=x*10+ch-'0';
      ch=getchar();
    }
  return x*f;
}

const int maxk=2000;
const int maxn=1000000;

int p[maxn+10],prime[maxn+10],cnt,mu[maxn+10],sum[maxn+10],d[maxk+10][maxk+10];

int getprime()
{
  p[1]=mu[1]=1;
  for(int i=2; i<=maxn; ++i)
    {
      if(!p[i])
        {
          prime[++cnt]=i;
          mu[i]=-1;
        }
      for(int j=1; (j<=cnt)&&(i*prime[j]<=maxn); ++j)
        {
          int x=i*prime[j];
          p[x]=1;
          if(i%prime[j]==0)
            {
              mu[x]=0;
              break;
            }
          mu[x]=-mu[i];
        }
    }
  for(int i=1; i<=maxn; ++i)
    {
      sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    }
  for(int i=1; i<=maxk; ++i)
    {
      if(mu[i])
        {
          for(int j=i; j<=maxk; j+=i)
            {
              d[j][++d[j][0]]=i;
            }
        }
    }
  return 0;
}

std::map<int,int> mp;

int getsum(int n)
{
  if(n<=maxn)
    {
      return sum[n];
    }
  if(mp.count(n))
    {
      return mp[n];
    }
  int ans=1;
  for(int l=2,r; l<=n; l=r+1)
    {
      r=n/(n/l);
      ans-=(r-l+1)*getsum(n/l);
    }
  return mp[n]=ans;
}

struct data
{
  int n,m,k;

  data(int _n=0,int _m=0,int _k=0):n(_n),m(_m),k(_k){}

  bool operator <(const data &oth) const
  {
    return (n==oth.n)?((m==oth.m)?(k<oth.k):(m<oth.m)):(n<oth.n);
  }
};

std::map<data,long long> mf;

long long F(int n,int m,int k)
{
  if((n==0)||(m==0))
    {
      return 0;
    }
  data da(n,m,k);
  if(mf.count(da))
    {
      return mf[da];
    }
  long long res=0;
  if(k==1)
    {
      for(int l=1,r,s,t=0; l<=std::min(n,m); l=r+1,t=s)
        {
          r=std::min(n/(n/l),m/(m/l));
          s=getsum(r);
          res+=1ll*(s-t)*(n/l)*(m/l);
        }
      mf[data(m,n,k)]=res;
    }
  else
    {
      for(int i=1; (i<=d[k][0])&&(d[k][i]<=m); ++i)
        {
          res+=mu[d[k][i]]*F(m/d[k][i],n,d[k][i]);
        }
    }
  return mf[da]=res;
}

int n,m,k;

int main()
{
  getprime();
  n=read();
  m=read();
  k=read();
  printf("%lld\n",F(n,m,k));
  return 0;
}