[ARC160C] Power Up

题目描述：

给出一个大小为 $N$ 的可重集 $A=\{A_1,A_2,\dots ,A_N\}$。

你可以执行若干次如下操作（也可以不执行）。

• 将两个 $x$ 合并成一个 $x+1$。

输出最终可能的集合个数对 $998244353$ 取模的结果。

数据范围：

$1\le N\le 2\times {10}^5$

$1\le Q\le 2\times {10}^5$

思路：

实话实说，我觉得这个题其实没有那么好做。

首先一开始我就犯了一个审题错误：我误以为是必须两个相邻的才能合并

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然后我们回归正题。思考这个题目中的这个问题该怎么处理。

我们发现，似乎当前这轮的个数只与上一轮的有关系，所以我们考虑令 $d{p}_{i,j}$ 表示当前枚举到了 $i$ 这个数，并且有 $j$ 个 $i$ 存在的序列的个数

然后转移也是简单的 $d{p}_{i,j+a_i}=\sum _{k=2\times j}^{lst}d{p}_{i-1,k}$ 其中 $lst$ 表示上一轮最多有多少的 $i-1$

然后我们对这个式子进行一个变形，使其变得好看一点 $d{p}_{i,j^{\prime }}=\sum _{k=2\times (j-a_i)}^{lst}d{p}_{i-1,k}$

这样我们就可以使用后缀和优化这个式子了。

最后需要注意的是，因为最后的 $mx$ 最终最多拥有 ${\log }_{2}n$ 的个数，所以需要增加 ${\log }_{2}n$ 次循环。

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然后我们分析一下复杂度：

首先空间复杂度可以通过滚动数组优化到 $O(N)$

时间复杂度比较奇怪，他应该是类似于 $n\times (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots )\le 2\times n$

所以时间复杂度 $O(2n)$ 左右。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=2e6+5;
const int mod=998244353;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n;
int a[maxn];
int bul[maxn],sum[maxn],dp[maxn];
signed main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],bul[a[i]]++;
    int mn=n,mx=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)mn=min(mn,a[i]),mx=max(mx,a[i]);
    int lst=bul[mn];
    for(int i=lst;i>=0;i--)sum[i]=1;
    for(int i=mn+1;i<=mx+20;i++){
        lst=bul[i]+lst/2;
        for(int j=0;j<bul[i];j++)dp[j]=0;
        for(int j=bul[i];j<=lst;j++)dp[j]=sum[(j-bul[i])*2];
        sum[lst]=dp[lst];
        for(int j=lst-1;j>=0;j--)sum[j]=(sum[j+1]+dp[j])%mod;
    }
    cout<<sum[0]<<endl;
    return 0;
}

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本文作者：Candycar
本文链接：https://www.cnblogs.com/Candycar/p/17835093.html
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