[ABC230F] Predilection

题目描述：

芷萱姐姐有一个长度为 $N$ 的数列 $A_i$。

你可以进行若干次，最多 $N-1$ 次操作，选择相邻的两个数，删去他们，并在原位置放上他们两个的和。

现在你需要求出可能产生的序列个数。

数据范围：

• $1\le N\le 2\times {10}^5$
• $|A_i|\le {10}^9$

思路：

我们首先会发现一件事情，整个操作都是在总和不变的前提下进行的。

对于一个排列 a,b,c,d，合并 b,c 后就变成了 a,b+c,d，前缀和数组由 a,a+b,a+b+c,a+b+c+d 变为了 a,a+b+c,a+b+c+d

所以我们不难发现这个合并操作其实就是删掉前缀和数组中的一项。所以原题转换为：从数组中删掉一些数后，不同的序列个数。

即前缀和数组中不同的子序列个数。

---

转换完问题，考虑怎么求解这个问题。令 $d{p}_i$ 表示到 $1\sim i$ 的不同子序列个数。

首先肯定 $d{p}_{i-1}\to d{p}_i$ ，然后我们发现，如果确定了 $d{p}_{i-1}$ 中的子序列，则会有两种方式：

1. 将 $a_i$ 拼接到 $d{p}_{i-1}$ 的序列后面
2. 保持 $d{p}_{i-1}$ 的序列不变

然后我们发现一件事情，如果记 $1\sim i-1$ 中 $a_i$ 出现的位置为 $ls{t}_{a_i}$，则如果用 $a_i$ 和 $d{p}_{ls{t}_{a_i}-1}$ 进行拼接的时候，和 $d{p}_{ls{t}_{a_i}-1}\to d{p}_{ls{t}_{a_i}}$ 的拼接方式一样，所以重复的需要减掉。

这样可以列出转移方程：

$d{p}_i=\{\begin{array}{rlrl}& 2\times d{p}_{i-1}+1& & ls{t}_{a_i}=0\\ & 2\times d{p}_{i-1}-d{p}_{ls{t}_{a_i}}& & ls{t}_{a_i}\ne 0\end{array}$

然后就是代码了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=5e5+5;
const int mod=1e9+7;
int lst[maxn];
int n,a[maxn],b[maxn];
int dp[maxn];
signed main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],a[i]+=a[i-1],b[i]=a[i];
    sort(b+1,b+n+1);
    int m=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(b+1,b+m+1,a[i])-b;
    dp[1]=1;
    lst[a[1]]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!lst[a[i]]){
            dp[i]=(dp[i-1]*2%mod+1)%mod;
        }
        else{
            dp[i]=(dp[i-1]*2%mod-dp[lst[a[i]]-1]+mod)%mod;
        }
        lst[a[i]]=i;
    }
    cout<<(dp[n-1]+1)%mod<<endl;
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：Candycar
本文链接：https://www.cnblogs.com/Candycar/p/17833561.html
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