P3565 [POI2014] HOT-Hotels

题目描述：

给定一棵树，在树上选 $3$ 个点，要求两两距离相等，求方案数。

数据范围：

$1\le n\le 5000$
$1\le a,b\le n$

思路：

一开始我想的就是枚举两个点，然后处理第三个点。

但是发现这样做非常的不正确，并且非常容易算重，所以我舍去了这种方式。

但是在想这种做法的时候，我们会发现，如果想要使得三个点距离相同，就等于需要找到两个点的路径中点，然后这个中点与三个点的距离相同。

然后我们又又又发现一件事情，如果这个中点被当成了根，显然现在我们选择的三个点只需要深度相同，距离肯定就都相同了。

所以我们不妨枚举这个中点是哪一个点，我们假设这个点为 $a$

然后我们以 $a$ 为根，所有 $a$ 的子树中每个子树内最多只能有一个被选择的节点，因为如果超过一个，显然 $lca$ 就不是 $a$ 了。

问题转换为在同一深度的节点中，每颗子树内最多选择一个节点且一共选择三个节点的方案数。

然后我们思考这个问题怎么处理？

首先我们令 $f_i$ 表示在遍历当前这棵子树之前的所有子树中，在深度 $i$ 选择两个点的方案数是多少；$g_i$ 表示在遍历当前这棵子树之前的所有子树中，在深度 $i$ 选择一个点的方案数是多少；$cn{t}_i$ 表示当前这棵子树深度为 $i$ 的数量

可以较为轻松的推出转移方程：

$ans\leftarrow f_i\times cn{t}_i$

$f_i\leftarrow g_i\times cn{t}_i$

$g_i\leftarrow cn{t}_i$

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=5005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n;
vector<int>G[maxn];
int cnt[maxn],f[maxn],g[maxn];
int mxdep;
void dfs(int u,int f,int dep){
    cnt[dep]++;
    mxdep=max(mxdep,dep);
    for(int v:G[u]){
        if(v==f)continue;
        dfs(v,u,dep+1);
    }
}
void init(){
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=g[i]=0;
}
signed main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v;
        scanf("%lld%lld",&u,&v);
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        init();
        for(int j:G[i]){
            for(int _=1;_<=n;_++)cnt[_]=0;
            mxdep=-inf;
            dfs(j,i,1);
            for(int k=1;k<=mxdep;k++){
                ans+=f[k]*cnt[k];
                f[k]+=g[k]*cnt[k];
                g[k]+=cnt[k];
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：Candycar
本文链接：https://www.cnblogs.com/Candycar/p/17829971.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！