组合数学

组合数学

排列组合——插板法：

例1：$n$ 个相同的球，放入 $m$ 个不同的盒子且不能有空盒存在，方案数是多少？

我们考虑使用插板法，一共 $n$ 个球，$n-1$ 个间隔，选出 $m-1$ 个间隔，就可以将 $n$ 个球分成 $m$ 组，方案数 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1})$

例2：$n$ 个相同的球，放入 $m$ 个不同的盒子，可以为空，方案数是多少？

因为可以为空，所以我们可以先借 $m$ 个球过来，然后最后在把 $m$ 个球拿走。

所以借球后总间隔数为 $n+m-1$ 个，从中选 $m-1$ 个，方案数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{m-1})$

同时这个等同于球 $x_1+x_2+\cdots +x_m=n,x_i\ge 0$ 的解的方案数。

例3：$n$ 个相同的球，放入 $m$ 个不同的盒子且第 $i$ 个盒子的球的数量需要大于 $a_i$（$\sum a_i\le n$），方案数是多少？

我们形式化这个问题：$x_1+x_2+\cdots +x_m=n,(\mathrm{\forall }i,i\in [1,n],x_i\ge a_i)$

所以我们不妨加上给每个数减一个 $a_i$，就可以得到 $(x_1-a_1)+(x_2-a_2)+\cdots +(x_m-a_m)=n-\sum a_i$

所以方案数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-\sum a_i+m-1}{m-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-\sum a_i+m-1}{n-\sum a_i})$

解释一下上面的过程，其实就是类比了 例2 的做法。

例4：$\mathrm{\forall }i\in [1,n],x_i\le n_i,\sum _{i=1}^k{x}_i=r$ 使得这个方程有解的方案数是多少？

这个问题可以公国容斥原理来解决，具体的可以自己手推一下。

二项式定理：

首先写一下公式：
$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\cdot a^{n-i}{b}^i$

对于这个公式的证明：

点击查看

我们先列举几个例子：

1. $(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$
2. $(a+b{)}^3=(a+b)(a+b)(a+b)=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

通过找规律，我们可以看出，这个多项式的系数就是杨辉三角第 $n+1$ 层的数。
其实也很好理解，每个系数就等于 $n$ 个 $a+b$ 中有多少个选了 $a$，方案数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})$，$x$ 表示选 $a$ 的数量。

所以原式 $(a+b{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})a^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})a^{n-1}{b}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})a^{n-2}{b}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})b^n$

又可以写成 $\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{n-i}{b}^i$

__EOF__

本文作者：Candycar
本文链接：https://www.cnblogs.com/Candycar/p/17827390.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！