[ARC071F] Infinite Sequence

题目描述：

定义 $n-$可爱序列 指无限长的由 $\{1,2...,n\}$ 组成的序列。同时 $a_1,a_2...$满足以下条件:

1.第 $n$ 个及以后的元素是相同的，即若 $\mathrm{\forall }i,j\ge n,a_i=a_j$ 。

2.对于每个位置 $i$，紧随第 $i$ 个元素后的 $a_i$ 个元素是相同的，即若 $\mathrm{\forall }i<j<k\le i+a_i,a_j=a_k$。

输入 $n$，请输出 $n-$可爱序列的数量 $mod{10}^9+7$ 。

$n\le {10}^6$。

思路：

首先我们先对这个题目进行一些转换：
1. n后的每个数都应与n相同
2. 若第i位为x，则[i+1,i+x]均=x

对于一个计数类型的题目，要么选择组合，要么就是用 Dp。显然这里 Dp可能更加方便一点

我们观察一下题目中的条件，发现所有的范围都是往后延申的，所以这启发我们从后往前Dp。
令 $d{p}_i$ 表示当前填到了第 $i$ 位，其中 $i\sim n$ 位的方案数位多少
然后我们进行分类讨论：

1. 若 $a_i=1\mathrm{\&}{a}_{i+1}\ne 1\Vert a_{i+1}=1$ 则 $d{p}_i+=d{p}_{i+1}$
2. 若 $a_i\ne 1\mathrm{\&}{a}_{i+1}\ne 1$ 则序列形如abbbbbbb，则 $d{p}_i=(n-1)\times (n-1)$
3. 若 $a_i\ne 1\mathrm{\&}{a}_{i+1}=1$ 则序列形如 a11111X，则 $d{p}_i=\sum _{x=2}^n{f}_{i+x+1}$

其实是一个不错的计数，但是不能算很难的那种。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){
        if(c=='-')f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(isdigit(c)){
        x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}
const int maxn=1e6+5;
const int mod=1e9+7;
int n;
int dp[maxn];
signed main(){
    n=read();
    dp[n]=n;
    dp[n-1]=n*n%mod;
    int sum=0;
    for(int i=n-2;i>=1;i--){
        sum=(sum+dp[i+3])%mod;
        dp[i]=(dp[i]+dp[i+1])%mod;
        dp[i]=(dp[i]+(n-1)*(n-1)%mod)%mod;
        dp[i]=(dp[i]+sum+i+1)%mod;
    }
    cout<<dp[1]<<endl;
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：Candycar
本文链接：https://www.cnblogs.com/Candycar/p/17783731.html
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