下降幂多项式的简单小应用
看 lyx 的 《〈具体数学〉选讲》学的，不知道哪里有更好的材料 /kk
这篇是自己做笔记用的，要学更建议看原 PPT（
基础知识
下降幂:
下降幂的差分：
下降幂的定和式：
可见，下降幂形式做差分、求和、偏移等操作都很方便。
往往在出现连续点值的时候，要想到转下降幂。
下降幂和组合数的关系说不定还可以带来一些组合意义。
算法
下降幂多项式与普通多项式的互相转换？FFT 是【10】的，鸽。
只要平方的话，就
\(\sum_{i\ge 0} a_ix^i\)
\(=\sum_{i\ge 0} a_i\sum_{j=0}^i{i\brace j}x^\underline j\)
\(=\sum_{j\ge 0}(\sum_{i\ge j} a_i{i\brace j})x^\underline j\)
转回来也是一样，用第一类斯特林数。
例题
比如 如何优雅地求和 就是和连续点值有关系，也可以用下降幂做。还被拿去弱化搬到联合省选。但这里不讲。
OSU!
有一个大小为 \(n\) 的数组，其第 \(i\) 个位置有 \(p_i\) 的概率为 \(1\)，\(1-p_i\) 的概率为 \(0\)。
求这个数组中 \(1\) 的极长连续段长度的 \(k\) 次方和的期望。
对大质数取模，\(n\le 10^7,k\le 10\)
比较简单的做法是设 \(f_{i,j}\) 表示以 \(i\) 结尾的极长连续段长度的 \(j\) 次方的期望，每个位置上的转移有 \(O(k^2)\)，是因为要用二项式定理 \((x+1)^k=\sum_{j=0}^kx^j{x\choose j}\)。
注意到是连续点值，以及转移时有把底数加一的操作，考虑用下降幂多项式来做。这样的话，我们做的类似的事情是 \((x+1)^\underline k=x^\underline k+kx^\underline{k-1}\)，每个位置上的转移只有 \(O(k)\) 了。
求最后答案时可以直接使用第二类斯特林数。
时间复杂度 \(O(nk)\)。
小技巧：可以用 \(\sum_{i\ge 0} a_ix^\underline i\) 的时候一般也可以用 \(\sum_{i\ge 0} a_i{x\choose i}\)，有可能会更方便。
作业
给出 \(n,m\) 和 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，求有多少序列 \(b_1,b_2,\cdots,b_n\) 使得 \(a_i\le b_i\le m\) 且 \(b_i\le b_{i+1}\)。
\(n\le 5000,0\le a_i\le m\le 10^9\)，对 \(1\ 000\ 000\ 007\) 取模
为了方便，\(a_i\gets \max_{j=1}^ia_j,a_{n+1}\gets m\)。
设 \(f_{i,j}\) 表示有多少种合法的 \(b_1,b_2\cdots,b_i\) 使 \(b_i=j\)。
\(f_{i,j}=\sum_{k=a_{i-1}}^jf_{i-1,k}\)
答案即为 \(f_{n+1,m}\)。但是 \(m\) 巨大，暴力 dp 无法接受。
注意到固定 \(i\) 时，\(f_{i,j}\) 是不超过 \(i-1\) 次的多项式的连续点值，考虑设 \(\sum_{0\le j<i}g_{i,j}x^\underline j=F_i(x)=f_{i,x}\)。
\(F_{i+1}(x)=\sum_{y=a_{i}}^xF_{i}(y)\)
\(=\sum_{y=a_{i}}^x\sum_{0\le j<i}g_{i,j}y^\underline j\)
\(=\sum_{0\le j<i}g_{i,j}\sum_{y=a_{i}}^xy^\underline j\)
\(=\sum_{0\le j<i}g_{i,j}\frac{1}{j+1}((x+1)^\underline{j+1}-a_{i}^\underline{j+1})\)
\(=\sum_{0\le j<i}g_{i,j}\frac{1}{j+1}(x^\underline{j+1}+(j+1)x^\underline j-a_{i}^\underline{j+1})\)
这样就可以直接在 \(g\) 之间转移了，最后展开计算 \(F_{n+1}(m)\) 即可，时间复杂度 \(O(n^2)\)。
其实见得比较少那种 原本是下降幂 转成普通幂做特别优的题，但也不失为一种思路。
