六省联考2017 分手是祝愿

不知道什么时候过的题，今天看到有同学在做，觉得有必要写一写题解。

题目

题意：有一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 串，下标编号 \(1\) 到 \(n\)。对位置 \(p\) 操作一次可以使所有编号为 \(p\) 的约数的位置 \(0\) 变 \(1\)，\(1\) 变 \(0\)。目标是使所有位置变成 \(0\)。B 君先随机操作若干次，等到当前局面可以在 \(k\) 次操作以内达成目标时就使用最优策略，达成目标后结束操作。求期望操作次数。

容易证明，一种最优的操作策略是每次操作最右边的为 \(1\) 的位置，直到达成目标。而且操作的先后顺序并不重要。

设 \(f_i\) 表示当前最优策略需要 \(i\) 步，从当前局面达到目标的期望步数。

则

\[f_i= \begin{cases} i(i\le k)\\ \frac{i}{n}f_{i-1}+\frac{n-i}{n}f_{i+1}+1(i > k) \end{cases} \]

暴力高斯消元复杂度爆炸。

设 \(f_i=f_{i-1}+b_{i}\)，那么我们发现 \(b_i\)是好求的。

\(f_i=\frac{i}{n}f_{i-1}+\frac{n-i}{n}f_{i+1}+1\)

代入得 \(f_i=\frac{i}{n}(f_i-b_i)+\frac{n-i}{n}(f_{i}+b_{i+1})+1\)

整理得到 \(b_i=\frac{(n-1)b_{i+1}+n}{i}\)

边界条件 \(b_n=1\)

做完了。

以下代码时间复杂度为 \(O(n^{1.5})\)。如果使用一些简单的数论技巧，可以做到 \(O(n\log n)\)。

#include<cstdio>
const int N=1e5+1,M=1e5+3;
int n,m,c,a[N],inv[M],f[N],b[N];
inline int F(int n){return n?1ll*F(n-1)*n%M:1;}
int main(){
	int t;
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<M;i++)inv[i]=1ll*inv[M%i]*(M-M/i)%M;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
	for(int i=n,j;i;i--)if(a[i]){
	  for(j=1;j*j<i;j++)
		if(i%j==0)a[j]^=1,a[i/j]^=1;
	  if(j*j==i)a[j]^=1;
	  c++;
	}
	if(m==n||m==n-1)return 0*printf("%lld",1ll*F(n)*c%M);
	for(int i=0;i<=m;i++)f[i]=i;
	b[n]=1;
	for(int i=n-1;i>m;i--)
	  b[i]=(1ll*(n-i)*b[i+1]+n)%M*inv[i]%M;
	for(int i=m+1;i<=n;i++)f[i]=(f[i-1]+b[i])%M;
	return 0*printf("%lld",1ll*F(n)*f[c]%M);
}