2022 年 4月随笔档案 - IrisT

摘要：费马小定理当

a, p \in Z

$a,p\in \mathbb{Z}$ 且

p

$p$ 为质数，且

a ≢ 0 (\mod p)

$a\not\equiv 0\pmod{p}$ 时有：

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)

$a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ 。所以

a^{b} \equiv a^{b mod (p - 1)} (\mod p)

$a^b\equiv a^{b\bmod (p-1)}\pmod p$ 。欧拉定理当阅读全文

posted @ 2022-04-15 10:12 IrisT 阅读(58) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 二次剩余

摘要：欧拉准则对于奇素数

p

$p$ 和

p ∤ a

$p\nmid a$ 有 \[ a^{\frac{p-1}{2}} \equiv\begin{cases} 1\pmod p,&x^2\equiv a\pmod p\text{ 有解}\\ -1\pmod p,&x^2\equiv a\pmod p\text 阅读全文

posted @ 2022-04-15 09:45 IrisT 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 杜教筛

摘要：杜教筛用来在非线性时间内求积性函数前缀和设现在要求积性函数

f

$f$ 的前缀和，设

\sum_{i = 1}^{n} f (i) = S (n)

$\sum \limits_{i=1}^{n} f(i) = S(n)$ 。再找一个积性函数

g

$g$ ，则考虑它们的狄利克雷卷积的前缀和 \[ \sum\limits_{i=1}^{n}(f*g)(i 阅读全文

posted @ 2022-04-15 09:26 IrisT 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 莫比乌斯反演

摘要：积性函数积性函数：对于任意互质的整数

a, b

$a,b$ 有

f (a b) = f (a) f (b)

$f(ab)=f(a)f(b)$ 则称

f (x)

$f(x)$ 的数论函数。完全积性函数：对于任意整数

a, b

$a,b$ 有

f (a b) = f (a) f (b)

$f(ab)=f(a)f(b)$ 的数论函数。常见的积性函数：

φ, μ, σ, d

$\varphi,\mu,\sigma,d$ 阅读全文

posted @ 2022-04-15 09:21 IrisT 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[总结] 习题集

摘要：莫比乌斯反演 P3455 [POI2007]ZAP-Queries P2257 YY的GCD P2522 [HAOI2011]Problem b P3312 [SDOI2014]数表 P3327 [SDOI2015]约数个数和 P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 P3768 简单的数学题阅读全文

posted @ 2022-04-15 09:20 IrisT 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[总结] 一些推式子的中间过程

摘要：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} σ_{k} (i j)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma_k(ij)$ \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma_k(ij)\\ =&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{x\mid i}\sum_{y\mi 阅读全文

posted @ 2022-04-15 08:27 IrisT 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[题解][ARC089D] ColoringBalls

摘要：题目大意有

n

$n$ 个白色的小球排成一排，有一个长为

k

$k$ 的字符串

S

$S$ 。接下来进行

k

$k$ 次操作。第

i

$i$ 个操作，选择一段连续的小球（可以为空），若

S

$S$ 中第

i

$i$ 个字符是 r，则将这些球染成红色；若是 b，则将它们染成蓝色。由于染料的特性，不能阅读全文

posted @ 2022-04-12 10:30 IrisT 阅读(35) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] Slope Trick：解决一类凸代价函数的DP优化问题

摘要：原理当序列 DP 的转移代价函数满足连续；凸函数；分段线性函数. 时，可以通过记录分段函数的最右一段

f_{r} (x)

$f_r(x)$ 以及其分段点

L

$L$ 实现快速维护代价的效果。如： $$ f(x)= \begin{cases} -x-3 & (x \le -1) \ x &( -1 < x\le1) 阅读全文

posted @ 2022-04-06 19:21 IrisT 阅读(177) 评论(1) 推荐(0) 编辑

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