[笔记] 群论

${\rm Burnside}$ 引理#

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|$$

$|G|$：置换群的大小 (即置换的个数)

$|X/G|$：集合 $X$ 在群 $G$ 作用下的轨道数 (即或本质不同元素数)

$|X^g|$：在变换 $g$ 下，$X$ 集合中的不动点数 (即置换之后看起来没动情况数目)

${\rm P\acute{o}lya}$ 定理#

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|B|^{c(g)}$$

$|B|$：每个元素的映射方式个数 (例如染色的颜色数)

$c(g)$：置换 $g$ 能拆分成的不相交的循环置换的数量 (即等价类的数量)

题目#

[P4727] 图的同构计数#

感觉比较清楚的题解.

[YZOJ7280] 凸多边形#

简要题意

对序列 $a_i$ 进行计数，要求满足 $\sum_\limits{i=1}^ma_i=n$ 且 $a_{\max}<\frac{n}{2}$。

翻转和循环位移后相同的序列算同构。

$T\le10^4,n\le 10^7,3\le m\le n$。

解题思路

为了便于描述，记 $lim=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1$。

这个题目看着就很群论不如 ${\rm Burnside}$ 引理直接来做。

首先考虑有哪些置换方式，旋转，和翻转再旋转，那么现在我们希望计算每种置换的不动点个数。

• 只旋转，位移 $k$ 位，将分为 $\gcd(k,m)$ 个等价类，每个等价类大小为 $t=\dfrac{m}{\gcd(k,m)}$，那么相当于要计算 $d$ 个数和为 $\dfrac{n}{t}$ 且最大的数不超过 $lim$ 的方案数，直接容斥。

• 旋转+翻转，按照 $m$ 的奇偶讨论：

  • $m$ 是奇数，所有 $m$ 种情况都一定是分成 $\dfrac{m-1}{2}$ 个大小为 $2$ 的等价类和 $1$ 个大小为 $1$ 的等价类，直接枚举大小为 $1$ 的等价类这个元素的大小 $i$，然后计算 $\dfrac{m-1}{2}$ 个数和为 $\dfrac{n-i}{2}$ 且最大的数不超过 $lim$ 的方案数。

  • $m$ 是偶数，有 $\dfrac{m}{2}$ 种情况是 $\dfrac{m}{2}$ 个大小为 $2$ 的等价类，另外 $\dfrac{m}{2}$ 情况是 $\dfrac{m}{2}-1$ 个大小为 $2$ 的等价类和 $1$ 个大小为 $1$ 的等价类。

    前面一种情况可以直接算。

    后面一种情况再讨论，如果两个大小为 $1$ 的等价类相同，归到前一类算，否则枚举两者差值，然后两个等价类归为一个计算，需要注意此时这个等价类与其他等价类限制不同。

大概要注意一个细节就是分成若干等价类的时候， $n$ 是否能被等价类数目整除。

前一类置换本质不同只有 $\sqrt{m}$ 种，而后一类置换所有提到的枚举都可以用上指标求和推出 $O(1)$ 的式子。

最终时间复杂度为 $O(n+m+T\sqrt{m})$。