[题解][YZOJ7198] 暴政之王

简要题意

初始有一个 \(1,2,3\dots,n\) 的排列，再随机一个排列，将初始排列根据这个置换 \(m\) 次。

现在给出最终结果，问有多少排列可能是随机出的那个排列。

\(n\le 10^5,m\le10^9\)，模数为 \(10^9+7\)。

解题思路

可能需要的结论：

一个长度为 \(k\) 的轮换，经过 \(m\) 次置换，分成 \(\gcd(k,m)\) 个长度为 \(\frac{k}{\gcd(k,m)}\) 的轮换。

有了结论之后 DP 式子不难推，故过程省略，总之现在有了这样一个 DP 式子：

\[f(cnt,i)=\sum_{j=0}^{\lfloor\frac{i}{cnt}\rfloor}f(lst,i-j\cdot cnt)\cdot (\frac{l^{cnt-1}}{cnt})^j\cdot\frac{1}{j!} \]

然后根据某常见生成函数的展开：

\[e^{Cx}=\sum_{n\ge 0}\dfrac{C^n}{n!}x^n \]

可以回推出 DP 式子的封闭形式：

\[\begin{aligned} G_{cnt}(n)=e^{Cx^{cnt}}(C=\frac{l^{cnt-1}}{cnt}) \end{aligned} \]

于是 DP 的过程相当于将若干 \(G_{cnt}\) 卷积，故最终的 \(G\) 可以表示为 \(e^{F(n)}\)

然后根据 \(O(n^2)\) 递推的方式展开 exp：

\[g(n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ni\cdot f(i)\cdot g(n-i) \]

然后因为 \(F\) 的有效位置是 \(d(m)\) 个，所有求的 \(g\) 总共是 \(n\) 个位置，时间复杂度 \(O(n\cdot d(m))\)。

代码

void dfs(int i){
	++top, vis[i] = 1;
	if(!vis[a[i]]) dfs(a[i]);
}

int solve(vector <int> &v, int n, int l){
	static int f[N], g[N];
	for(int cnt : v) f[cnt] = (LL) qpow(l, cnt - 1) * qpow(cnt, mod - 2) % mod;
	lfor(i, 0, n) g[i] = 0; g[0] = 1;
	lfor(i, 1, n){
		for(int cnt : v) if(cnt <= i)
			MOD(g[i] += (LL) cnt * f[cnt] % mod * g[i - cnt] % mod - mod);
		g[i] = (LL) g[i] * qpow(i, mod - 2) % mod;
	}
	return g[n];
}

int main(){
	read(n), read(m), prep();
	lfor(i, 1, n) read(a[i]);
	lfor(i, 1, n) if(!vis[i])
		top = 0, dfs(i), ++num[top];
	lfor(i, 1, n) v[i / gcd(i, m)].pb(gcd(i, m));
	int Ans = 1;
	lfor(i, 1, n){
		int tmp = (LL) fac[num[i]] * solve(v[i], num[i], i) % mod;
		Ans = (LL) Ans * tmp % mod;
	}
	cout << (LL) Ans * ifac[n] % mod << endl;
	return 0;
}