[题解][YZOJ7031] 计树

复习？

题目大意#

给出一个长度为 $n$ 的排列，要求构建一棵 $n$ 个节点的有标号树，满足若存在边 $(i,j)$ 则存在边 $(p_i,p_j)$。

求构建树的方案数。

$n\le3\times10^5$，模数为 $998244353$。

解题思路#

首先对于这种 $i$ 和 $p_i$ 相对应的题目，不妨先把置换环提出来，然后考虑题目的条件实际是要干什么。

于是不难意识到，若 $x,y$ 连边，则要在两者所在的环上依次连边，那么现在需要考虑是否所有的连边都合法。

记 $x,y$ 所在的环长度分别为 $n,m\ (n\ge m)$，根据手玩和置换的一些特性，可以发现：

• $m|n$。
• $n$ 只能和唯一一个大小为 $m$ 连边。

hint：非法连边的情况都是出现环。

此时环与环之间的关系，实际上也就是一个树的关系，大小为 $n$ 的环，其父亲一定是一个大小为 $n$ 的因数的环。

故计数时，不妨枚举 $n$，然后考虑其与父亲的连边方案，那么对于某一个 $n$，其方案应对是：

$$\sum_{i=1}^{cnt_n}\binom{cnt_n-1}{i-1}\cdot n^{cnt_n-i}\times cnt_n^{cnt_n-i}\times val^i$$

首先考虑 $n$ 这一层内的环相互连边，枚举连出来 $i$ 棵树，第一部分即 $cnt_n$ 个点，形成 $i$ 棵树的森林的方案树

(考虑一个虚拟根节点，然后 prufer 序列计算)。

然后要考虑的就是，某两个环之间连边，方案数是多少，不难发现是两个环中较小的那个的大小。

第二部分即同层的环之间的连的边的选取方案数。

第三部分是 $i$ 棵树的根连向较小的层连边的边的选取的方案数 ($val=\sum_{m|n}m\cdot cnt_m$)。

做到这里，我们其实还有一个问题没有考虑，一棵树，除了没有环，还应当保证连通。

如果最小的环大小为 $1$，那么只要把这些点连成一棵无根树即可。

如果最小的环大小为 $2$，那么其实要连成一棵有根树，为什么呢，因为仅仅按照环间连边的话，最后还是会有两棵树，所以要选择一个大小为 $2$ 的环进行环内连边，使其连通。

看到这里，不知道有没有意识到之前都没有提及环内连边，原因是$>2$ 的环，出现环内连边后，最终将因为无法和小于等于自己的其他环连边 (会成环)，而最终无法连通，于是没有合法方案。

int main(){
	read(n), prep(n);
	lfor(i, 1, n) read(p[i]), G[p[i]].pb(i), G[i].pb(p[i]);
	lfor(i, 1, n) if(!vis[i]) dcnt = 0, dfs(i), ++c[dcnt];
	rfor(i, n, 1) if(c[i]) a[++m] = {i, c[i]};
	int Ans = 1;
	lfor(i, 1, m - 1){
		int sqr = sqrt(a[i].fi), val = mod - 1LL * a[i].fi * c[a[i].fi] % mod;
		lfor(j, 1, sqr) if(a[i].fi % j == 0){
			MOD(val += 1LL * j * c[j] % mod - mod);
			MOD(val += 1LL * (a[i].fi / j) * c[a[i].fi / j] % mod - mod); 
		}
		if(sqr * sqr == a[i].fi) MOD(val -= 1LL * sqr * c[sqr] % mod - mod);
		int res = 0;
		lfor(j, 1, a[i].se){
			int sum = 1LL * C(a[i].se - 1, j - 1) * qpow(a[i].se, a[i].se - j) % mod;
			sum = 1LL * sum * qpow(val, j) % mod;
			sum = 1LL * sum * qpow(a[i].fi, a[i].se - j) % mod;
			MOD(res += sum - mod);
		}
		Ans = 1LL * Ans * res % mod;
	}
	if(a[m].fi == 1){
		if(a[m].se > 1) Ans = 1LL * Ans * qpow(a[m].se, a[m].se - 2) % mod;
	}else if(a[m].fi == 2){
		Ans = 1LL * Ans * qpow(a[m].se, a[m].se - 1) % mod * qpow(2, a[m].se - 1) % mod;
	}else Ans = 0;
	cout << Ans << endl;
	return 0;
}