[题解] 春荔(cut) | 贪心

题目大意#

有一个长度为 $n$ 的非负整数序列 $a_i$，每次可以选择一段区间减去 $1$，要求选择的区间长度 $\in[l,r]$，问最少多少次把每个位置减成 $0$。

不保证有解，$1 \leq l \leq r \leq n \leq 10^6,\ r - l + 1 \geq \lceil \frac{n}{2} \rceil,\ 0 \leq a_i \leq 10^9$。

解题思路#

首先由于每次是对一段区间操作，考虑先差分原序列得到 $c_i=a_i-a_{i-1}(i\in[1,n+1])$。

先从费用流的角度考虑。

源往正权点连权值的流量，负权点往汇连权值的流量，一个可操作区间则表示为，将 $i$ 与 $\in[i+l,i+r]$ 中的点连流量为 INF，费用为 $1$ 的边。

跑最小费用最大流。没流满则无解，否则费用即要求的答案。

怎么优化呢，考虑到这题有个特殊性质 $\ r - l + 1 \geq \lceil \frac{n}{2} \rceil$，也就是说，对于任意满足 $j>i+r$ 的位置，也只需要 $2$ 的费用即可从 $i$ 到 $j$ 流 $1$ 的流量。

于是就贪心地考虑，对于正权点 $i$ ，先对于只要 $1$ 的费用的位置从后往前尽量流，然后再流费用为 $2$ 的位置，如果有正权点或者负权点最后没有满流，就无解。

int main(){
	read(n), read(l), read(r); lfor(i, 1, n) read(a[i]);
	lfor(i, 1, n + 1) c[i] = a[i] - a[i - 1];
	rfor(i, n + 1, 1){
		if(c[i] < 0) Q.push_front(i);
		else if(c[i] > 0){
			while(!Q.empty() && c[i]){
				int x = Q.back(), det = min(c[i], -c[x]);
				c[i] -= det, c[x] += det, Ans += det;
				if(!c[x]) Q.pop_back();
			}
			if(c[i] > sum){ puts("-1"); return 0; }
			Ans += c[i] * 2, sum -= c[i], c[i] = 0;
		}
		while(!Q.empty() && i + r == Q.back()) sum -= c[Q.back()], Q.pop_back();
	}
	if(Q.size() || sum){ puts("-1"); return 0; }
	printf("%lld\n", Ans);
	return 0;
}
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