[题解] 51 nod 1340 地铁环线
不难看出这是一道差分约束的题目。
但是如果想按照通常的题目那样去建边的话,就会发现这句话——相邻两站的距离至少是1公里——建边后就直接让整个题出现了负环(默认是按求最短路建边),没法做了。
这时我们就需要使用断环为链的技巧。
可以设\(len\)为地铁环线总长
那么就需要把\(a→b(a>b)\)的限制条件转换为\(b→a\)的限制条件,比如\(dis(a,b)\leq k\)转换为\(dis(b,a)\geq len-k\)。总算能连边建图惹
如果现在要判断是否有解,那方法肯定是\(spfa\)判负环。
但问题在于\(len\)是未知量,如果用\(len\)表示每一条边,那么\(e_i=len\pm d_i\ or\ \pm\ d_i\)。
因为有没有解的关键在于有没有负环,所以:
考虑图上每一个环, 其权值一定可以表示为 \(val=k×len+b\) 的形式. 那么现在分类讨论一下每一个环.
- \(k=0\) 且 \(b<0\) 时, \(val<0\),为负环,一定无解;
- \(k<0\) 且 \(b<0\) 时, \(val<0\),为负环,一定无解;
- \(k<0\) 且 \(b>0\) 时, 如果出现\(val<0\),可以通过减小 \(len\) 来消除负环;
- \(k>0\) 时, 如果出现\(val<0\),可以通过增大 \(len\) 来消除负环。
这样思考会发现\(len\)的合法大小一定是一段连续区间
所以可以确定一个\(INF\),然后二分\(len\),由上述规律找到\(len\)的合法区间的左右端点,如果右端点接近\(INF\)则判断为无数个解。
\(tips\):
- 凡是没有说明联通的图都要小心;
- 可能只有一个点;
- 因为\(e_i=len\pm d_i\ or\ \pm\ d_i\),而\(len\)是变量,所以建边的时候存\(len\)的系数和\(d_i\);
- 若一个点入队次数超过n,则有负权环,然后要判断\(k\)的值,来决定二分方向,要记录来时的边
废话,并且把环取出来可能有小尾巴呀;
代码:
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string>
#include <utility>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <assert.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct edge{
int nx,from,to,k,v;
};
#define N 55
#define M 55
#define INF 100000000000
#define mid ((l+r)>>1)
int T,n,m1,m2;
int cnt,head[N];
int st,pre[N],ar[N],inq[N],vis[N];
long long L,R,dis[N];
queue <int> Q;
edge e[M*2+N*2];
inline void clear(){
cnt=L=R=0;
memset(head,0,sizeof(head));
}
inline void add(int u,int v,int k,int w){
e[++cnt]=edge{head[u],u,v,k,w};
head[u]=cnt;
}
inline int spfa(long long len){
while(!Q.empty()) Q.pop();
memset(ar,0,sizeof(ar));
memset(inq,0,sizeof(inq));
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=INF;
Q.push(st); inq[st]=1; dis[st]=0;
while(!Q.empty()){
int x=Q.front(); Q.pop(); inq[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nx){
int y=e[i].to;
if(dis[y]>dis[x]+e[i].k*len+e[i].v){
dis[y]=dis[x]+e[i].k*len+e[i].v;
pre[y]=i; ar[y]=ar[x]+1;
if(ar[y]>n+1){
int tail,k=0;
for(int j=y;j;j=e[pre[j]].from)
if(vis[j]){tail=j;break;}
else vis[j]=1;
k+=e[pre[tail]].k;
for(int j=e[pre[tail]].from;j!=tail;j=e[pre[j]].from)
k+=e[pre[j]].k;
if(k==0) return 1;
if(k>0) return 2;
if(k<0) return 3;
}
if(!inq[y]) inq[y]=1,Q.push(y);
}
}
}
return 4;
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
clear();
scanf("%d%d%d",&n,&m1,&m2);
add(1,n,1,-1);
for(int i=2;i<=n;++i) add(i,i-1,0,-1);
for(int i=1;i<=n;++i) add(st,i,0,0);
int a,b,d;
for(int i=1;i<=m1;++i){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&d); ++a,++b;
if(a<b) add(b,a,0,-d);
else add(b,a,1,-d);
}
for(int i=1;i<=m2;++i){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&d); ++a,++b;
if(a<b) add(a,b,0,d);
else add(a,b,-1,d);
}
int flag;
bool OK=0;
long long l=1,r=INF;
while(l<=r){
flag=spfa(mid);
if(flag==1) break;
else if(flag==2) l=mid+1;
else if(flag==3) r=mid-1;
else OK=1,L=mid,r=mid-1;
}
l=1,r=INF;
while(l<=r){
flag=spfa(mid);
if(flag==1) break;
else if(flag==2) l=mid+1;
else if(flag==3) r=mid-1;
else OK=1,R=mid,l=mid+1;
}
if(!OK) printf("0\n");
else if(R>=INF) printf("-1\n");
else printf("%lld\n",R-L+1);
}
return 0;
}
参考了Rothen的博客
我也不知道他 blog 为啥没了,也不敢问