[笔记] 简单数论定理

费马小定理#

当 $a,p\in \mathbb{Z}$ 且 $p$ 为质数，且 $a\not\equiv 0\pmod{p}$ 时有：$a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$。

所以 $a^b\equiv a^{b\bmod (p-1)}\pmod p$。

欧拉定理#

当 $a,m\in \mathbb{Z}$，且 $\gcd(a,m)=1$ 时有： $a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m}$。

这里 $\varphi(x)$ 是数论中的欧拉函数。

所以 $a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(m)}\pmod m$。

扩展欧拉定理#

当 $a,m\in \Z$ 且 $\gcd(a,m)\ne 1$ 时有：
$a^b\equiv\left\{\begin{matrix}a^b&,b<\varphi(m)\\a^{(b\bmod\varphi(m))+\varphi(m)}&,b\ge\varphi(m)\end{matrix}\right.\pmod m$

(第一种状况的含义是，如果 $b<\varphi(m)$ 的话，那么就不能降幂。一般题目中 $m$ 不会太大，则此时复杂度可以接受。而如果 $b\ge\varphi(m)$ 的话，那么复杂度可能超出预期，这个时候需要降幂来降低复杂度）

ExCRT#

个人认为比 CRT 更加好理解和记忆。

假设有 $n$ 个同余方程：

$$x\equiv b_1\pmod{p_1}\\ x\equiv b_2\pmod{p_2}\\ \cdots\\ x\equiv b_n\pmod{p_n}\\ $$

可以直接使用 Exgcd 将这些同余方程合并：

$$b_1+k_1p_1=b_2+k_2p_2\pmod{\rm{lcm}(p1,p2)}$$

根据这一点，用 Exgcd 求出 $k_1,k_2$ 即可将方程合并。

卢卡斯定理#

用于模数为质数，但是较小的时候，求组合数：

$$\binom{n}{m}=\binom{n/p}{m/p}\binom{n\%p}{m\%p}$$

当模数不是质数时，如果分解质因数，每个质因数的次数都为 $1$，那么分开做，再用 CRT 合并即可。

否则要用到 ExLucas。

库默尔定理#

设 $m，n$ 为正整数，$p$ 为素数，则 $\dbinom{n + m}{m}$ 含 $p$ 的幂次等于 $m+n$ 在 $p$ 进制下的进位次数。