[笔记] 简单数论定理

费马小定理

当 \(a,p\in \mathbb{Z}\) 且 \(p\) 为质数，且 \(a\not\equiv 0\pmod{p}\) 时有：\(a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\)。

所以 \(a^b\equiv a^{b\bmod (p-1)}\pmod p\)。

欧拉定理

当 \(a,m\in \mathbb{Z}\)，且 \(\gcd(a,m)=1\) 时有： \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m}\)。

这里 \(\varphi(x)\) 是数论中的欧拉函数。

所以 \(a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(m)}\pmod m\)。

扩展欧拉定理

当 \(a,m\in \Z\) 且 \(\gcd(a,m)\ne 1\) 时有：
\(a^b\equiv\left\{\begin{matrix}a^b&,b<\varphi(m)\\a^{(b\bmod\varphi(m))+\varphi(m)}&,b\ge\varphi(m)\end{matrix}\right.\pmod m\)

(第一种状况的含义是，如果 \(b<\varphi(m)\) 的话，那么就不能降幂。一般题目中 \(m\) 不会太大，则此时复杂度可以接受。而如果 \(b\ge\varphi(m)\) 的话，那么复杂度可能超出预期，这个时候需要降幂来降低复杂度）

ExCRT

个人认为比 CRT 更加好理解和记忆。

假设有 \(n\) 个同余方程：

\[x\equiv b_1\pmod{p_1}\\ x\equiv b_2\pmod{p_2}\\ \cdots\\ x\equiv b_n\pmod{p_n}\\ \]

可以直接使用 Exgcd 将这些同余方程合并：

\[b_1+k_1p_1=b_2+k_2p_2\pmod{\rm{lcm}(p1,p2)} \]

根据这一点，用 Exgcd 求出 \(k_1,k_2\) 即可将方程合并。

卢卡斯定理

用于模数为质数，但是较小的时候，求组合数：

\[\binom{n}{m}=\binom{n/p}{m/p}\binom{n\%p}{m\%p} \]

当模数不是质数时，如果分解质因数，每个质因数的次数都为 \(1\)，那么分开做，再用 CRT 合并即可。

否则要用到 ExLucas。

库默尔定理

设 \(m，n\) 为正整数，\(p\) 为素数，则 \(\dbinom{n + m}{m}\) 含 \(p\) 的幂次等于 \(m+n\) 在 \(p\) 进制下的进位次数。