[笔记] 莫比乌斯反演

积性函数#

积性函数：对于任意互质的整数 $a,b$ 有 $f(ab)=f(a)f(b)$ 则称 $f(x)$ 的数论函数。

完全积性函数：对于任意整数 $a,b$ 有 $f(ab)=f(a)f(b)$ 的数论函数。

• 常见的积性函数：$\varphi,\mu,\sigma,d$

• 常见的完全积性函数：$\epsilon,I,id$

  $\epsilon(n) = [n=1], I(n) = 1, id(n) = n$

狄利克雷卷积#

设 $f, g$ 是两个数论函数，它们的狄利克雷卷积卷积是：$(f*g)(n) = \sum \limits _{d | n} f(d) g(\frac{n}{d})$

性质：满足交换律，结合律

单位元：$\epsilon$ （即 $f*\epsilon=f$）

结合狄利克雷卷积得到的几个性质：

• $\mu * I = \epsilon$
• $\varphi * I = id$
• $\mu * id = \varphi$

莫比乌斯函数#

定义

$$\mu(n)=\left\{ \begin{aligned} 1\ &(n=1)\\ (-1)^m\ &(m 为质数个数)\\ 0\ &(含有平方因子) \end{aligned} \right.$$

性质

• $$\lfloor\frac{n}{xy}\rfloor=\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}{y}\rfloor$$

• $$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$$

• $$\sum_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}$$

• $$\sigma_k(nm)=\sum_{x\mid n}\sum_{y\mid n}[\gcd(x,y)=1](\frac{n}{x}\cdot y)^k$$

  $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma_k(ij)$ 的推式子过程

  公式#

  $f(i), g(i)$ 是两个数论函数：

$$\begin{aligned} &f(i) = \sum_{d\mid i}g(d)\\ \Rightarrow &g(i) = \sum_{d\mid i}\mu(\frac i d)f(d) = \sum_{d\mid i}\mu(d)f(\frac i d) \end{aligned}$$

或者

$$\begin{aligned} &f(i) = \sum_{d = 1}^{\left\lfloor\frac n i\right\rfloor}g(d\cdot i)\\ \Rightarrow &g(i) = \sum_{d = 1}^{\left\lfloor\frac n i\right\rfloor}f(d\cdot i)\mu(d) \end{aligned}$$

例题#

求 $\gcd(i,j)=k$ 的个数

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j = 1}^m[\gcd(i,j)=k]$$

设 $f(k)$ 为 $\gcd(i,j)=k$ 的个数，$g(k)$ 为 $\gcd(i,j)$ 是 $k$ 的倍数的个数，则：

$$g(k) = \sum_{d = 1}^{\left\lfloor\frac n k\right\rfloor}f(d\cdot x)$$

而 $g(k)=\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\cdot\lfloor\frac{m}{k}\rfloor$，故直接莫反+数论分块求 $f(k)$ 即可。

求 $\gcd(i,j)$ 的 $k$ 次幂

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^k\bmod{10^9+7}$$

用之前的做法将得到：

$$\sum_{d=1}^nd^k\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(x)\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\lfloor\frac{m}{dx}\rfloor$$

这样可以做到 $O(n^{\frac{3}{4}})$，但是还有更快的做法，枚举 $dx$，记为 $T$：

$$\sum_{T=1}^n\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum_{d\mid T} d^k\cdot\mu(\frac{T}{d})$$

设 $f(n)=\sum_{d\mid n}d^k\mu(\frac{n}{d})$，则只要求出 $f$ 的前缀和，就可以 $O(\sqrt n)$ 解决单次询问。

Sengxian 说

这个交换枚举顺序，然后变成积性函数预处理+数论分块的技巧很常见。