[笔记] 莫比乌斯反演
积性函数
积性函数:对于任意互质的整数 \(a,b\) 有 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 则称 \(f(x)\) 的数论函数。
完全积性函数:对于任意整数 \(a,b\) 有 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 的数论函数。
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常见的积性函数:\(\varphi,\mu,\sigma,d\)
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常见的完全积性函数:\(\epsilon,I,id\)
\(\epsilon(n) = [n=1], I(n) = 1, id(n) = n\)
狄利克雷卷积
设 \(f, g\) 是两个数论函数,它们的狄利克雷卷积卷积是:\((f*g)(n) = \sum \limits _{d | n} f(d) g(\frac{n}{d})\)
性质:满足交换律,结合律
单位元:\(\epsilon\) (即 \(f*\epsilon=f\))
结合狄利克雷卷积得到的几个性质:
- \(\mu * I = \epsilon\)
- \(\varphi * I = id\)
- \(\mu * id = \varphi\)
莫比乌斯函数
定义
性质
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\[\lfloor\frac{n}{xy}\rfloor=\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}{y}\rfloor \]
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\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]
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\[\sum_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n} \]
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\[\sigma_k(nm)=\sum_{x\mid n}\sum_{y\mid n}[\gcd(x,y)=1](\frac{n}{x}\cdot y)^k \]
\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma_k(ij)\) 的推式子过程
公式
\(f(i), g(i)\) 是两个数论函数:
或者
例题
求 \(\gcd(i,j)=k\) 的个数
设 \(f(k)\) 为 \(\gcd(i,j)=k\) 的个数,\(g(k)\) 为 \(\gcd(i,j)\) 是 \(k\) 的倍数的个数,则:
而 \(g(k)=\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\cdot\lfloor\frac{m}{k}\rfloor\),故直接莫反+数论分块求 \(f(k)\) 即可。
求 \(\gcd(i,j)\) 的 \(k\) 次幂
用之前的做法将得到:
这样可以做到 \(O(n^{\frac{3}{4}})\),但是还有更快的做法,枚举 \(dx\),记为 \(T\):
设 \(f(n)=\sum_{d\mid n}d^k\mu(\frac{n}{d})\),则只要求出 \(f\) 的前缀和,就可以 \(O(\sqrt n)\) 解决单次询问。
Sengxian 说
这个交换枚举顺序,然后变成积性函数预处理+数论分块的技巧很常见。