[题解][YZOJ50113] 枇杷树
简要题意
\(m\) 个操作，每次操作都会产生一个树的版本 \((\)从 \(0\) 开始\()\).
一次操作把 \(x_i\) 版本的树的点 \(u\) 和 \(y_i\) 版本的树的点 \(v\) 连一条权值是 \(w\) 的边。\((\) \(y_i\) 上的全部点的编号加 \(siz_{x_i}\) \(）\)
求每个版本:
\[\sum_{i = 1}^{siz - 1} \sum_{j = i + 1}^{siz} dis(i, j)
\]
\(m\le 300,u,v\leq 10^{18}, siz \leq 2 \times 10 ^{18}\)
解题思路
首先，将答案考虑为每条边乘上两边的子树大小。
然后，考虑产生的新版本 (记为 \(z\) ) 的答案 \(ans_z\) 的组成：
- 原来版本内的路径和：\(ans_x+ans_y\)；
- 边 \((u,v,w)\) 的贡献：\(siz_x\times siz_y\times w\)；
- 版本间的贡献 ( 记 \(f_x(u)\) 为版本 \(x\) 中，所有点到 \(u\) 的路径和)：\(f_x(u)\times siz_y+f_y(v)\times siz_x\).
那么现在的主要问题就是每次如何得到 \(f_x(u)\)。( 记 \(dis_x(u,v)\) 表示版本 \(x\) 中，\(u\) 到 \(v\) 的路径长度)
还是分析当得到一个新的版本 \(z\) 时，\(f_z(a)\) 的组成：
- 若 \(a\) 原来属于版本 \(x\)，\(f_x(a)+f_y(v)+(w+dis_x(a, u))\times siz_y\).
- 若 \(a\) 原来属于版本 \(y\)，\(f_y(a)+f_x(u)+(w+dis_y(a, v))\times siz_x\).
此时，\(f_x(u)/f_y(v)\) 算作已知，故只需考虑 \(dis_z(a,b)\) 如何计算：
- \(a,b\) 都在版本 \(x/y\)，调用 \(dis_{x/y}(a,b)\);
- \(a,b\) 不在同一版本，\(dis_x(a,u)+w+dis_y(b_v)\).
此时整个问题在递归中解决了，现在来分析一下复杂度。
对于 \(f_x(u)\)，版本数是 \(O(m)\) 级别，\(u\) 的取值是 \(O(m)\) 级别，总的状态就是 \(O(m^2)\) 级别，转移 \(O(1)\)。
\(dis_x(a, b)\) 的计算平均是 \(O(1)\) 的，所以计算所有的 \(f_x(u)\) 是 \(O(m^2)\) 的。
计算 \(ans\) 时， \(f_x(u)\) 会被调用 \(O(m)\) 次，所以总的时间复杂度是 \(O(m^3)\)。
代码
inline int Dis(int z, int a, int b){
if(a == b) return 0;
if(dis[z].find({a, b}) != dis[z].end()) return dis[z][{a, b}];
int x = X[z], y = Y[z], w = W[z]; LL u = U[z], v = V[z];
if(a <= siz[x] && b <= siz[x]) return dis[z][{a, b}] = Dis(x, a, b);
if(siz[x] < a && siz[x] < b) return dis[z][{a, b}] = Dis(y, a - siz[x], b - siz[x]);
int sum = w; if(a > siz[x]) swap(a, b);
Plus(sum, Dis(x, a, u)), Plus(sum, Dis(y, b - siz[x], v));
return dis[z][{a, b}] = sum;
}
inline int F(int z, LL a){
if(z == 0 && a == 1) return 0;
if(f[z].find(a) != f[z].end()) return f[z][a];
int x = X[z], y = Y[z], w = W[z]; LL u = U[z], v = V[z];
if(a <= siz[x]){
int sum = 0;
Plus(sum, F(x, a)), Plus(sum, F(y, v));
Plus(sum, siz[y] % mod * Mod(w + Dis(x, a, u) - mod) % mod);
return f[z][a] = sum;
}
int sum = 0;
Plus(sum, F(y, a - siz[x])), Plus(sum, F(x, u));
Plus(sum, siz[x] % mod * Mod(w + Dis(y, a - siz[x], v) - mod) % mod);
return f[z][a] = sum;
}
inline void solve(int x, int y, LL u, LL v, int w, int z){
X[z] = x, Y[z] = y, U[z] = u, V[z] = v, W[z] = w;
Plus(Ans[z], Mod(Ans[x] + Ans[y] - mod));
Plus(Ans[z], siz[x] % mod * (siz[y] % mod) % mod * w % mod);
Plus(Ans[z], Mod(siz[y] % mod * F(x, u) % mod + siz[x] % mod * F(y, v) % mod - mod));
siz[z] = siz[x] + siz[y];
}
