[题解][YZOJ50113] 枇杷树

简要题意#

$m$ 个操作，每次操作都会产生一个树的版本 $($从 $0$ 开始$)$.

一次操作把 $x_i$ 版本的树的点 $u$ 和 $y_i$ 版本的树的点 $v$ 连一条权值是 $w$ 的边。$($ $y_i$ 上的全部点的编号加 $siz_{x_i}$ $）$

求每个版本:

$$\sum_{i = 1}^{siz - 1} \sum_{j = i + 1}^{siz} dis(i, j)$$

$m\le 300,u,v\leq 10^{18}, siz \leq 2 \times 10 ^{18}$

解题思路#

首先，将答案考虑为每条边乘上两边的子树大小。

然后，考虑产生的新版本 (记为 $z$ ) 的答案 $ans_z$ 的组成：

• 原来版本内的路径和：$ans_x+ans_y$；
• 边 $(u,v,w)$ 的贡献：$siz_x\times siz_y\times w$；
• 版本间的贡献 ( 记 $f_x(u)$ 为版本 $x$ 中，所有点到 $u$ 的路径和)：$f_x(u)\times siz_y+f_y(v)\times siz_x$.

那么现在的主要问题就是每次如何得到 $f_x(u)$。( 记 $dis_x(u,v)$ 表示版本 $x$ 中，$u$ 到 $v$ 的路径长度)

还是分析当得到一个新的版本 $z$ 时，$f_z(a)$ 的组成：

• 若 $a$ 原来属于版本 $x$，$f_x(a)+f_y(v)+(w+dis_x(a, u))\times siz_y$.
• 若 $a$ 原来属于版本 $y$，$f_y(a)+f_x(u)+(w+dis_y(a, v))\times siz_x$.

此时，$f_x(u)/f_y(v)$ 算作已知，故只需考虑 $dis_z(a,b)$ 如何计算：

• $a,b$ 都在版本 $x/y$，调用 $dis_{x/y}(a,b)$;
• $a,b$ 不在同一版本，$dis_x(a,u)+w+dis_y(b_v)$.

此时整个问题在递归中解决了，现在来分析一下复杂度。

对于 $f_x(u)$，版本数是 $O(m)$ 级别，$u$ 的取值是 $O(m)$ 级别，总的状态就是 $O(m^2)$ 级别，转移 $O(1)$。

$dis_x(a, b)$ 的计算平均是 $O(1)$ 的，所以计算所有的 $f_x(u)$ 是 $O(m^2)$ 的。

计算 $ans$ 时， $f_x(u)$ 会被调用 $O(m)$ 次，所以总的时间复杂度是 $O(m^3)$。

代码#

inline int Dis(int z, int a, int b){
	if(a == b) return 0;
	if(dis[z].find({a, b}) != dis[z].end()) return dis[z][{a, b}];
	int x = X[z], y = Y[z], w = W[z]; LL u = U[z], v = V[z];
	if(a <= siz[x] && b <= siz[x]) return dis[z][{a, b}] = Dis(x, a, b);
	if(siz[x] < a && siz[x] < b) return dis[z][{a, b}] = Dis(y, a - siz[x], b - siz[x]);
	int sum = w; if(a > siz[x]) swap(a, b);
	Plus(sum, Dis(x, a, u)), Plus(sum, Dis(y, b - siz[x], v));
	return dis[z][{a, b}] = sum;
}
inline int F(int z, LL a){
	if(z == 0 && a == 1) return 0;
	if(f[z].find(a) != f[z].end()) return f[z][a];
	int x = X[z], y = Y[z], w = W[z]; LL u = U[z], v = V[z];
	if(a <= siz[x]){
		int sum = 0;
		Plus(sum, F(x, a)), Plus(sum, F(y, v));
		Plus(sum, siz[y] % mod * Mod(w + Dis(x, a, u) - mod) % mod);
		return f[z][a] = sum;
	}
	int sum = 0;
	Plus(sum, F(y, a - siz[x])), Plus(sum, F(x, u));
	Plus(sum, siz[x] % mod * Mod(w + Dis(y, a - siz[x], v) - mod) % mod);
	return f[z][a] = sum;
}
inline void solve(int x, int y, LL u, LL v, int w, int z){
	X[z] = x, Y[z] = y, U[z] = u, V[z] = v, W[z] = w;
	Plus(Ans[z], Mod(Ans[x] + Ans[y] - mod));
	Plus(Ans[z], siz[x] % mod * (siz[y] % mod) % mod * w % mod);
	Plus(Ans[z], Mod(siz[y] % mod * F(x, u) % mod + siz[x] % mod * F(y, v) % mod - mod));
	siz[z] = siz[x] + siz[y]; 
}

参考#

https://www.cnblogs.com/qjbqjb/p/15905279.html