[笔记] 期望概率DP
线性高斯消元
模型概述
- 转移不是 DAG 的期望 DP。
- 成环的转移有特殊性质，如：只总父亲/根/儿子转移，只从左右转移……
处理方式
以只从父亲和儿子转移的期望 DP 为例：
\[f(x)=p\cdot f(fa)+\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt}f(son_i)+1
\]
那么可以设 \(f(x)=k\cdot f(fa)+b\)，终止状态为叶子节点，\(k,b\) 都已知，考虑其他情况：
\[f(x)=p\cdot f(fa)+\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt}(k_{son_i}f(x)+b_{son_i})+1\\
\]
代入之后解方程得：
\[f(x)=\frac{p\cdot f(fa)+\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt}b_{son_i}+1}{1-\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt} k_{son_i}}
\]
于是就得到：
\[k_x=\frac{p}{1-\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt} k_{son_i}},b_x=\frac{\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt}b_{son_i}+1}{1-\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt} k_{son_i}}
\]
则可以倒推出 \(k,b\) 。
