[笔记] Powerful Number 筛

定义#

Powerful Number（以下简称 PN）筛类似于杜教筛，可以拿来求一些积性函数的前缀和。

要求：

假设现在要求积性函数 $f$ 的前缀和 $F(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$，需要存在一个函数 $g$ 满足：

• $g$ 是积性函数。
• $g$ 易求前缀和。
• 对于质数 $p$，$g(p)=f(p)$ 。

Powerful Number#

定义：每个质因子次数都 $≥2$ 的数。

性质：

• 所有的 PN 都可以表示成 $a^2b^3$。

• $n$ 以内的 PN 至多是 $O(\sqrt n)$ 个，可以积分证明。

枚举：线性筛出 $\sqrt n$ 以内的质数，dfs 搜索每个质数的指数，时间复杂度 $O(\sqrt n)$。

原理#

首先，构造出合适的 $g$，记 $G(n)=\sum_{i=1}^ng(i)$。

然后考虑另一个函数 $h$，满足 $f=g*h$，故 $h$ 也为积性函数，且 $h$ 仅在 PN 处不为 $0$。

首先考虑质数 $p$，$f(p)=g(1)h(p)+g(p)h(1)=h(p)+g(p)$，故 $h(p)=0$.

又 $h$ 是积性函数，故对于非 PN 的数 $n$，都有 $h(n)=0$。

现在，根据 $f=g*h$ 有：

$$\begin{aligned} F(n)&=\sum_{i=1}^nf(i)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}h(i)g(\frac{i}{d})\\ &=\sum_{d=1}^nh(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}g(i)\\ &=\sum_{d\text{ is PN}}h(d)G(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \end{aligned}$$

那么现在要考虑的问题就只是 PN 处 $h$ 的取值如何计算，也就是计算 $h(p^c)$。

根据 $f=g*h$，可得 $h(p^c)=f(p^c)-\sum_{i=1}^cg(p^i)h(p^{c-i})$。

也可以考虑直接推 $h$ 的式子。

复杂度分析#

可以分为计算 $h(p^c)$ 和搜索两部分进行分析。

• 根据 $O(\sqrt n)$ 内的素数个数为 $O(\dfrac{\sqrt n}{\log n})$，因此时间复杂度为 $O(\sqrt n\log n)$ 。

  此处计算的上界较为宽松，可以根据题目优化。

• 对于搜索部分，由于 $n$ 以内的 PN 至多有 $O(\sqrt n)$ 个，所以至多搜索 $O(\sqrt n)$ 次。对于每一个 PN，假设计算 $G(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$ 的时间复杂度为 $O(1)$ ，则第二部分的复杂度为 $O(\sqrt n)$。

  特别地，若杜教筛计算 $G(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$，则时间复杂度为杜教筛的时间复杂度，即 $O(n^{\frac{2}{3}})$。

  对于空间复杂度，其瓶颈在于存储 $h(p^c)$，若使用二维数组 $a$ 记录，$a_{i,j}$ 表示 $h(p_{i}^j)$ 的值，则空间复杂度为 $O(\sqrt n)$。

void Enum(int x, LL d, int Hd){
	if(x > pcnt || (__int128) d * pri[x] * pri[x] > K){
		MOD(Ans += G(K / d) % mod * Hd % mod - mod);
		return;
	}
	Enum(x + 1, d, Hd);
	int cnt = 2; LL s = (LL) pri[x] * pri[x];
	while((__int128) d * s <= K){
		Enum(x + 1, d * s, (LL) Hd * H[x][cnt] % mod);
		if((__int128) s * pri[x] > K) break;
		s *= pri[x], ++cnt; 
	}	
}