[笔记] 线性基

用处#

• 快速查询一个数是否可以被一堆数异或出来
• 快速查询一堆数可以异或出来的最大 / 最小值
• 快速查询一堆数可以异或出来的第 $k$ 大值

性质#

• 原数列里的任何一个数都可以通过线性基里的数异或表示出来
• 线性基里任意一个子集的异或和都不为 $0$
• 一个数列可能有多个线性基，但是线性基里数的数量一定唯一，而且是满足性质一的基础上最少的。

实现#

构造

void insert(LL x){
	rfor(i, lim, 0) if(x & (1LL << i)){
		if(a[i]) x ^= a[i];
		else{ a[i] = x; break; }
	}
}

查询一个元素是否可以被异或出来

bool check(LL x) {
	rfor(i, lim, 0) if(x & (1LL << i)) x ^= a[i];
	return x == 0;
}

查询异或最大值

按位贪心.

LL askmax() {
	LL ans = 0;
	rfor(i, lim, 0) if(ans < (ans ^ a[i])) ans ^= a[i];
	return ans;
}

查询异或最小值

一般来说就是线性基里的最小元素，特判 $0$.

LL askmin() {
	if(zero) return 0;
	lfor(i, 0, lim) if(a[i]) return a[i];
}

查询异或第 $k$ 小

重建线性基，使得不同位尽量不相互影响。

void rebuild() {
	rfor(i, lim, 0) rfor(j, i - 1, 0) if(a[i] & (1LL << j)) a[i] ^= a[j];
	lfor(i, 0, lim) if(a[i]) p[++cnt] = a[i];
}

类似树状数组二分第 $k$ 小，同样特判 $0$.

LL kth(int k) {
	LL ans=0;
	rfor(i, lim, 0) if(k & (1LL << i)) ans ^= p[i];
	return ans;
}

查询排名

与查询第 $k$ 小类似.

int rank(LL x) {
	LL ans = 0;
	rfor(i, cnt - 1, 0) if(x >= p[i]) ans += (1LL << i), x ^= p[i];
	return ans + zero; 
}

题目#

[WC2011]最大XOR和路径

从 $1-n$ 的最大XOR和路径可以看作任意一条从 $1-n$ 的路径异或上若干个环。

[CQOI2013]新Nim游戏

分析出答案的补集就是线性基。

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