[笔记] 矩阵

行列式#

$\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i,\sigma(i)}$

其中 $S_n$ 是指长度为 $n$ 的全排列的集合，$\sigma$ 就是一个全排列，如果 $\sigma$ 的逆序对对数为偶数，则 $\operatorname{sgn}(\sigma)$，否则 $\operatorname{sgn}(\sigma)=-1$

• 矩阵转置，行列式不变；
• 矩阵行（列）交换，行列式取反；
• 矩阵行（列）相加或相减，行列式不变；
• 矩阵行（列）所有元素同时乘以数 $k$，行列式也乘 $k$。

行列式求值#

• 如果不需要取模或者模数为质数，则直接高斯消元，否则辗转相除。

int det(){
	int tg = 1, res = 1;
	lfor(i, 1, n){
		int k = i;
		lfor(j, k + 1, n) if(a[j][i] > a[k][i]) k = j;
		if(!a[k][i]) return 0;
		if(i != k) swap(a[k], a[i]), tg = -tg;
		lfor(j, i + 1, n){
			while(a[j][i]){
				int x = a[i][i] / a[j][i];
				lfor(k, i, n) a[i][k] = (a[i][k] + 1LL * (p - x) * a[j][k]) % p;
				swap(a[j], a[i]), tg = -tg;
			}
		}
		res = 1LL * res * a[i][i] % p;
	}
	res *= tg; return (res + p) % p;
}

矩阵求逆#

在高斯消元的同时对单位矩阵做同样的操作。

bool Inv(){
	lfor(i, 1, n){
		int k = i; 
		lfor(j, i + 1, n) if(a.a[j][i]){ k = j; break; }
		if(!a.a[k][i]) return 0;
		if(k != i) a.Swap(k, i), inv.Swap(k, i);
		inv.mul(i, qpow(a[i][i])), a.mul(i, qpow(a[i][i]));
		lfor(j, 1, n) if(i != j) 
			inv.add(j, i, mod - a[j][i]), a.add(j, i, mod - a[j][i]);
	}
	return 1;
}

积和式#

$\operatorname{perm}(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\prod_{i=1}^na_{i,\sigma(i)}$

• $\bmod 2$ 意义下等于行列式。

矩阵的秩#

$\operatorname{rank}(A)=A$ 中能选出的最多的线性无关的行数。

如果某一行能被其它的行组合出来，则称他们线性相关。

LGV 引理#

关键词：路径交点

• 矩阵 $a_{i,j}$ 权值为第 $i$ 个起点到第 $j$ 个终点的路径条数，则 $\det(A)$ 即为第 $i$ 个起点到第 $i$ 个终点，$n$ 条路径无交点的方案数。
• 可能存在条件限制和变式。

矩阵乘法的常数优化#

• 对于较小的矩阵，在运算需要取模是，可以使用 long long，在 $O(n^3)$ 次乘法后进行 $O(n^2)$ 的取模。

矩阵乘法的应用#

• 加速递推；
• 加速 DP 转移；
• 有一些修改操作，用矩阵乘法可以很好地表达。

题目#

「THUSCH 2017」大魔法师