[笔记] K-D Tree

一种可以 高效处理 $k$ 维空间信息 的数据结构。

在正确使用的情况下，复杂度为 $O(n^{1-\frac{1}{k}})$.

K-D Tree 的实现#

建树#

随机一维选择最中间的点为当前子树的根，每个节点维护当前点的坐标，已经整个子树的矩形坐标。

Pink Rabbit 说随机选维度没什么问题。

int rt, ID;
struct node{ int lc, rc, x[K], L[K], R[K]; } t[N];
inline bool cmp(const node &a, const node &b){ return a.x[ID] < b.x[ID]; }
inline void getedge(int x){
	lfo(i, 0, K) t[x].L[i] = t[x].R[i] = t[x].x[i];
	if(ls(x)) lfo(i, 0, K) Min(t[x].L[i], t[ls(x)].L[i]), Max(t[x].R[i], t[ls(x)].R[i]);
	if(rs(x)) lfo(i, 0, K) Min(t[x].L[i], t[rs(x)].L[i]), Max(t[x].R[i], t[rs(x)].R[i]);
}
void build(int &x, int l, int r){
	if(l > r) return;
	int mid = l + r >> 1; x = mid, ID = rand() % K;
	nth_element(t + l, t + mid, t + r + 1, cmp);
	build(ls(x), l, mid - 1), build(rs(x), mid + 1, r);
	getedge(x);
}

插入/删除#

• 删除比较简单，直接标记为不存在即可，复杂度依然靠谱。
• 插入比较麻烦，如果可离线的话，最好先建树，否则考虑 $\sqrt n$ 次插入操作后重构整棵树。

复杂度分析#

在递归过程中，判断是否继续是：

• 相交：继续
• 包含：打标记，return
• 相离：return

则复杂度最优 $O(\log n)$，最劣 $O(n^{1-\frac{1}{k}})$。

K-D Tree 的应用#

• 求最近点对的骗分做法。

• 范围修改/查询问题：矩形覆盖，多维偏序……