笔记 - 随笔分类 - IrisT

摘要：

B u r n s i d e

${\rm Burnside}$ 引理

| X / G | = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} | X^{g} |

$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|$

| G |

$|G|$ ：置换群的大小 (即置换的个数)

| X / G |

$|X/G|$ ：集合

X

$X$ 在群

G

$G$ 作用下的轨道数 (即或本质不同元素数)

| X^{g} |

$|X^g|$ ：在变换

g

$g$ 下，

X

$X$ 阅读全文

posted @ 2022-07-22 16:59 IrisT 阅读(84) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] LCT 入门

摘要：其实可能是从零开始的复习，多年不会 LCT 人在 NOI 延期一个月，为了改模拟考试 t1 后，终于决定重学 LCT。感性理解 LCT LCT 是动态树的一种，它可以支持一些动态的树相关的操作。比如维护一个森林，支持删除某条边，加入某条边，并保证加边，删边之后仍是森林。要维护这个森林的一些信息阅读全文

posted @ 2022-07-13 19:27 IrisT 阅读(178) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 卡特兰数

摘要：同步发表于 MiNa! 基础知识卡特兰数的式子 \[ \begin{aligned} &h(n)=\sum_{i=0}^{n-1}h(i)\cdot h(n-i-1)\\ &h(n)=\frac{h(n-1)\cdot(4n-2)}{n+1}\\ &h(n)=\frac{\binom{2n}{n} 阅读全文

posted @ 2022-05-27 14:55 IrisT 阅读(90) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] prufer 序列

摘要：什么是 prufer 序列是可以和

n

$n$ 个有标号节点的无根树一一对应的长度为

n - 2

$n-2$ 的序列。一般来说是用于和树相关的组合计数问题，但是可能会出现一些变形，所以除了要了解一些性质，大致的构造思路也要知道。如何构建 prufer 序列每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在阅读全文

posted @ 2022-05-02 22:05 IrisT 阅读(84) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 计算几何

摘要：其他的咕咕咕了，不喜欢计算几何 qaq 基本定义向量

\vec{P Q} = Q - P

$\overrightarrow{PQ}=Q-P$ 叉积二维 a.x * b.y-a.y * b.x 三维 sum += a.x * b.y * c.z + a.y * b.z * c.x + a.z * b.x * c.y sum -= 阅读全文

posted @ 2022-05-02 22:02 IrisT 阅读(242) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[笔记] 简单数论定理

摘要：费马小定理当

a, p \in Z

$a,p\in \mathbb{Z}$ 且

p

$p$ 为质数，且

a ≢ 0 (\mod p)

$a\not\equiv 0\pmod{p}$ 时有：

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)

$a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ 。所以

a^{b} \equiv a^{b mod (p - 1)} (\mod p)

$a^b\equiv a^{b\bmod (p-1)}\pmod p$ 。欧拉定理当阅读全文

posted @ 2022-04-15 10:12 IrisT 阅读(58) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 二次剩余

摘要：欧拉准则对于奇素数

p

$p$ 和

p ∤ a

$p\nmid a$ 有 \[ a^{\frac{p-1}{2}} \equiv\begin{cases} 1\pmod p,&x^2\equiv a\pmod p\text{ 有解}\\ -1\pmod p,&x^2\equiv a\pmod p\text 阅读全文

posted @ 2022-04-15 09:45 IrisT 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 杜教筛

摘要：杜教筛用来在非线性时间内求积性函数前缀和设现在要求积性函数

f

$f$ 的前缀和，设

\sum_{i = 1}^{n} f (i) = S (n)

$\sum \limits_{i=1}^{n} f(i) = S(n)$ 。再找一个积性函数

g

$g$ ，则考虑它们的狄利克雷卷积的前缀和 \[ \sum\limits_{i=1}^{n}(f*g)(i 阅读全文

posted @ 2022-04-15 09:26 IrisT 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 莫比乌斯反演

摘要：积性函数积性函数：对于任意互质的整数

a, b

$a,b$ 有

f (a b) = f (a) f (b)

$f(ab)=f(a)f(b)$ 则称

f (x)

$f(x)$ 的数论函数。完全积性函数：对于任意整数

a, b

$a,b$ 有

f (a b) = f (a) f (b)

$f(ab)=f(a)f(b)$ 的数论函数。常见的积性函数：

φ, μ, σ, d

$\varphi,\mu,\sigma,d$ 阅读全文

posted @ 2022-04-15 09:21 IrisT 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] Slope Trick：解决一类凸代价函数的DP优化问题

摘要：原理当序列 DP 的转移代价函数满足连续；凸函数；分段线性函数. 时，可以通过记录分段函数的最右一段

f_{r} (x)

$f_r(x)$ 以及其分段点

L

$L$ 实现快速维护代价的效果。如： $$ f(x)= \begin{cases} -x-3 & (x \le -1) \ x &( -1 < x\le1) 阅读全文

posted @ 2022-04-06 19:21 IrisT 阅读(177) 评论(1) 推荐(0) 编辑

[笔记] 随机碰撞

摘要：问题模型通过一些类运算的操作，问在某些条件下，能否将某些元素进行一定运算后得到某个结果，要求给出构造方案。处理方式分成两个部分随机生成一些构造方案，然后等价于获得了一些随机数。于是用 hash 表储存，枚举其中一个 hash 表，然后在另一个中查找。习题 [UOJ75] 智商锁 [ZROI 阅读全文

posted @ 2022-03-24 22:00 IrisT 阅读(62) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 期望概率DP

摘要：线性高斯消元模型概述转移不是 DAG 的期望 DP。成环的转移有特殊性质，如：只总父亲/根/儿子转移，只从左右转移…… 处理方式以只从父亲和儿子转移的期望 DP 为例： \[ f(x)=p\cdot f(fa)+\frac{1-p}{cnt}\sum_{i=1}^{cnt}f(son_i)+ 阅读全文

posted @ 2022-03-21 21:45 IrisT 阅读(54) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 扩展欧几里得算法

摘要：常用于求解

a x + b y = gcd (a, b)

$ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组可行解。求解过程现推比较简单： \[ \begin{aligned} &bx'+(a\bmod b)y'=c\\ &bx'+(a-a / b\cdot b)y'=c\\ &ay'+b(x'-a/b\cdot y')=c\\ \\ &故\ 阅读全文

posted @ 2022-03-18 17:22 IrisT 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] Powerful Number 筛

摘要：定义 Powerful Number（以下简称 PN）筛类似于杜教筛，可以拿来求一些积性函数的前缀和。要求：假设现在要求积性函数

f

$f$ 的前缀和

F (n) = \sum_{i = 1}^{n} f (i)

$F(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$ ，需要存在一个函数

g

$g$ 满足：

g

$g$ 是积性函数。

g

$g$ 易求前缀和。对阅读全文

posted @ 2022-03-18 17:21 IrisT 阅读(150) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 二分答案

摘要：问题特征棘手之处在于，转移是环，而答案也位于环中。处理方式先假定答案，再计算得出按照假定情况转移，得出的答案。如果前者和后者满足一定的单调性，则可以二分答案。习题 [51nod]1340 地铁环线 [未公开]速通阅读全文

posted @ 2022-03-14 20:07 IrisT 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 树分治

摘要：点分治适合处理大规模的树上路径信息问题。考虑随意选择一个节点作为根节点。所有完全位于其子树中的路径可以分为两种：经过当前根节点的路径，这种路径又可以分为两种：以根节点为一个端点的路径；两个端点都不为根节点的路径（可以由前者合并得到）；不经过当前根节点的路径。所以可以在当前根节点只解决阅读全文

posted @ 2022-03-11 22:03 IrisT 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 轮廓线 DP

摘要：是状态 DP 的一种，主要是对于网格图状压，实现

O (1)

$O(1)$ 转移的一种处理方式。 oooo x - 是状压了信息的位置，x 是当前更新的位置。应用价值可以一格一格考虑状态，转移

O (1)

$O(1)$ 。更加容易避免非法状态，减小常数。对于需要维护连通性的 DP 处理起来比较方便，用相同编号阅读全文

posted @ 2022-03-11 21:31 IrisT 阅读(67) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 定义新运算

摘要：问题概述有些题目会给出一些条件转移，然后要求若干次转移的结果。处理方式用更加形式化的运算来表示题目的转移，有时候会让问题变简单。习题 [YZOJ] 7131 未来给出长度为

n

$n$ ，字符集大小为

3

$3$ 的字符串

S

$S$ ，每次的变化为：若

S_{i} = S_{i + 1}

$S_i=S_{i+1}$ ，\ 阅读全文

posted @ 2022-03-11 20:55 IrisT 阅读(129) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 用合并处理选数的一类问题

摘要：模型概述给出

n

$n$ 个数，可以在一定的限制下，以相对自由的顺序选择完所有的数，每次选择将会产生一定的贡献。处理方式对于具体题目具体分析，把一定会一起选的部分合并在一起，使得问题变简单。习题 [YZOJ] 7117 Mythological VII 给出一个长度为

n

$n$ 的序列 \ 阅读全文

posted @ 2022-03-09 21:38 IrisT 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 建图

摘要：最小割模型概述1 有

n

$n$ 个物品和两个集合

A, B

$A,B$ ，如果将一个物品放入

A

$A$ 集合会花费

a_{i}

$a_i$ ，放入

B

$B$ 集合会花费

b_{i}

$b_i$ 。还有若干个形如

(u_{i}, v_{i}, w_{i})

$(u_i,v_i,w_i)$ 限制条件，表示如果

u_{i}

$u_i$ 和

v_{i}

$v_i$ 不在一个集合会花费

w_{i}

$w_i$ 。每个物品必须且阅读全文

posted @ 2022-03-03 20:48 IrisT 阅读(117) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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