【算法笔记】中国剩余定理（CRT）与扩展中国剩余定理（exCRT）

合集 - OI算法笔记(13)

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三人同行七十稀，五树梅花廿一支。
七子团圆月正半，除百零五便可知。

— —明代数学家程大位对『物不知数』问题解法给出的歌诀

前言

我觉得可以不要前言 QwQ。

问题引入

在我国古代的数学巨著《孙子算经》中，有这样一个名叫『物不知数』的问题：

今有物不知数，三三之数剩二，五五之数剩三，七七之数剩二，问物几何？

用现代的话翻译过来，就是求下面的关于 $x$ 的同余方程组的解：

$$\begin{cases} x \equiv 2\pmod 3,\\ x \equiv 3\pmod 5,\\ x \equiv 2\pmod 7. \end{cases}$$

当然，我们可以计算出来最小的 $x=23$，那么，对于任意一个下面这样的关于 $x$ 的同余方程：

$$\begin{cases} x\equiv a_1 \pmod {m_1}, & (1)\\ x\equiv a_2 \pmod {m_2}, & (2)\\ \cdots\\ x\equiv a_n \pmod {m_n}. & (n)\\ \end{cases}$$

它一定有解吗？如果有解，能不能给出一个高效的算法，求出来满足该方程的最小整数解呢？

中国剩余定理（CRT）

像上面这样，解决多个线性同余方程组的问题，被称为中国剩余问题。

在先秦时期，就有了类如『隔墙算』，『剪管术』，『韩信点兵』一类的问题，具体内容都是关于求上面这样线性同余方程组的数学问题。

然而，这类问题的文献记载，最早出现在南北朝时期的数学著作《孙子算经》中，作者将其称为『物不知数』问题，也就是题目引入中的那个问题。

后来，宋朝数学家秦九韶在他的数学著作《大衍章》中给出了比较系统的解答，并且给出了一个重要的定理，即所谓的中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT，又称孙子定理）：

设线性同余方程组：

$$\begin{cases} x\equiv a_1 \pmod {m_1}, & (1)\\ x\equiv a_2 \pmod {m_2}, & (2)\\ \cdots\\ x\equiv a_n \pmod {m_n}. & (n)\\ \end{cases}$$

如果 $m_1,m_2\cdots,m_n$ 两两互质，则该方程组一定有解，且在模 $M=\prod m_i$ 意义下解唯一。

剩余定理对解的构造

『好的，我们已经知道了这个问题一定有解了，但是我们怎么样才能得到这个解呢？』

这个时候，我们就要请出我国古代的数学家，程大位了。他将『物不知数』问题的解法变成了一首四句歌诀：

三人同行七十稀，五树梅花廿一支。七子团圆月正半，除百零五便可知。

用现在的话来翻译一下，就是用 $x$ 除以 $3$ 所得的余数 $2$，乘以一个 $70$（三人同行七十稀）；

加上 $x$ 除以 $5$ 所得的余数 $3$，乘上 $21$（即廿一，五树梅花廿一支）；

再加上 $x$ 除以 $7$ 所得的余数 $2$，乘上 $15$（半个月即十五天，七子团圆月正半）；

得到的结果为 $2\times 70+3\times 21+2\times 15=233$，最后对 $105$ 取模，得到 $308\bmod 105=23$，就是最终的答案了（除百零五便可知）。

这四句歌谣的确把『物不知数』问题算清楚了，但是，里面还有一些问题没有解决。

『对啊，$105=3\times 5\times 7$ 尚且不论，那些 $70,21,15$ 是怎么得出来的呢？难道是通过瞎蒙蒙出来的？』

我们就要考察一下这些数字的含义了。

对于一个线性同余方程组：

$$\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {m_1},\\ x \equiv a_2 \pmod {m_2},\\ \cdots\\ x \equiv a_n \pmod {m_n}.\\ \end{cases}$$

既然 $x$ 在模 $M$ 意义下有唯一解，我们就构造一个和 $M$ 相关的解吧！

定义 $M=\prod_{i=1}^n{m_i}$，$M_i=\dfrac{M}{m_i}$，那么我们构造：

$$\begin{aligned} x &= (a_1M_1t_1+a_2M_2t_2+\cdots+a_nM_nt_n)\bmod M\\ &= \left(\sum_{i=1}^n{a_iM_it_i}\right)\bmod M. \end{aligned}$$

其中，$t_i$ 为 $M_i$ 在模 $m_i$ 意义下的逆元。

我们下面可以证明，$x$ 为该同余方程的一个解：

对于第 $i$ 个方程 $x\equiv a_i\pmod {m_i}$，我们代入上式，得

$$a_1M_1t_1+a_2M_2t_2+\cdots+a_nM_nt_n \equiv a_i \pmod{m_i}.$$

因为 $M_1,M_2,M_{i-1}$ 和 $M_{i+1},M_{i+2},\cdots,M_n$ 里都含有因子 $m_i$，所以：

$$\sum_{j\neq i}a_jM_jt_j\equiv 0\pmod{m_i}$$

那么原式只剩下一个 $x\equiv a_iM_it_i\pmod{m_i}$ 了，我们又知道， $t_i$ 是 $M_i$ 模 $m_i$ 意义下的逆元，有 $M_it_i\equiv 1\pmod {m_i}$，所以 $x\equiv a_i\pmod {m_i}$ 成立。

综上，$x=(\sum_{i=1}^n a_iM_it_i)\bmod M$。

注意到 $m_i$ 不一定是质数，所以我们求 $M_i$ 模 $m_i$ 意义下的逆元需要用扩欧来完成。

代码

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 100001; 

typedef long long ll;
 
int n;
ll a[MAXN], m[MAXN], M = 1;
ll ans; 

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {  //扩欧，不解释 
	if(!b) {
		x = 1, y = 0; return ; 
	} 

	exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x; 
} 

int main() {
	scanf("%d", &n); 

	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lld%lld", &m[i], &a[i]); //代表方程 x = a[i] (mod m[i]) 
		M *= m[i];  //求出 M 
	} 

	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		ll xi, yi;

		exgcd(M / m[i], m[i], xi, yi);  //扩欧求逆元 
		xi = (xi % m[i] + m[i]) % m[i];  //要是正的 

		ans = (ans + a[i] * (M / m[i]) * xi) % M;  //一边加一边取模 
	} 

	printf("%lld", ans); 
	return 0;
}
//by CaO 

扩展中国剩余定理（exCRT）

CRT 可以解决当 $m_1,m_2,\cdots,m_n$ 两两互质时的情况，但是如果 $m_1,m_2,\cdots,m_n$ 不能做到两两互质，那么 CRT 的算法就束手无策了— —在求逆元的时候会出问题。

于是，exCRT 应运而生，它的思想不再是简单地构造一个解，而是通过合并两个同余方程的方式解答剩余问题的。

怎么合并呢

我们考虑下面的两个同余方程：

$$\begin{cases} x\equiv a_1 \pmod{m_1},\\ x\equiv a_2 \pmod{m_2}. \end{cases}$$

我们可以将其改写一下，就变成了：$x=k_1a_1+m_1=k_2a_2+m_2$，其中，$k_1,k_2\in \mathbb{N}$。

做个变形，我们就得到：$a_1k_1-a_2k_2=m_2-m_1$，这是一个关于 $k_1,k_2$ 的不定方程，由 Bézout 定理，$k_1,k_2$ 存在，当且仅当 $\gcd(a_1,a_2)\mid (m_2-m_1)$。

这样，我们就有了：

$$\dfrac{a_1k_1}{\gcd(a_1,a_2)}=\dfrac{m_2-m_1}{\gcd(a_1,a_2)}+\dfrac{a_2k_2}{\gcd(a_1,a_2)}.$$

它也可以表示为下式：

$$\dfrac{a_1k_1}{\gcd(a_1,a_2)}\equiv \dfrac{m_1-m_2}{\gcd(a_1,a_2)} \quad\left(\bmod{\dfrac{a_2}{\gcd(a_1,a_2)}}\right).$$

我们设 $\left(\dfrac{a_1}{\gcd(a_1,a_2)}\right)^{-1}\equiv K\quad\left(\bmod {\dfrac{a_2}{\gcd(a_1,a_2)}}\right)$，则上式可转化为：

$$k_1\equiv K\dfrac{m_1-m_2}{\gcd(a_1,a_2)}\quad\left(\bmod{\dfrac{a_2}{\gcd(a_1,a_2)}}\right).$$

即：

$$k_1=K\dfrac{m_1-m_2}{\gcd(a_1,a_2)}+p\dfrac{a_2}{\gcd(a_1,a_2)}.$$

由 $x=k_1a_1+m_1$，得：

$$x_1=K\dfrac{m_1-m_2}{\gcd(a_1,a_2)}+Kp\dfrac{a_1a_2}{\gcd(a_1,a_2)}+m_1.$$

注意到 $\dfrac{a_1a_2}{\gcd(a_1,a_2)}=\operatorname{lcm}(a_1,a_2)$，上式写成同余式即：

$$x\equiv K\dfrac{m_1-m_2}{\gcd(a_1,a_2)}+m_1\pmod{\operatorname{lcm}(a_1,a_2)}.$$

像这样，我们就把两个同余方程合并成了一个，如果是 $n$ 个的话，像这样一个一个合并，就可以解决了！

代码

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 300001;
typedef __int128 ll;

int n;
ll a[MAXN], b[MAXN], xi, yi;

ll mul(ll A, ll B) {
    ll res = 0;
    while(B) {
        if(B & 1) res = res + A;
        B >>= 1, A = A + A;
    }
    return res;
}

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if(!b) {
        x = 1, y = 0; return a;
    }
    
    ll ans = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return ans;
}

ll inv(ll a, ll b) {
    ll x, k, res = exgcd(a, b, x, k);
    ll t = b / res;
    
    return (x % t + t) % t;
}

int main(void) {
    scanf("%d", &n);
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
        scanf("%lld%lld", &a[i], &b[i]);
    
    ll r = exgcd(a[1], a[2], xi, yi);
    ll A = mul(a[1], a[2] / r);
    ll B = (inv(a[1] / r, a[2] / r) * (b[2] - b[1]) / r % (a[2] / r) + a[2] / r) % (a[2] / r) * a[1] + b[1];  //合并两个同余方程
    
    for(int i = 3; i <= n; ++i) {
        r = exgcd(A, a[i], xi, yi);
        B = (inv(A / r, a[i] / r) * (b[i] - B) / r % (a[i] / r) + a[i] / r) % (a[i] / r) * A + B;
        A = mul(A, a[i] / r);  //继续合并同余方程
    }
    
    printf("%lld", B);
    return 0;
}
//by CaO

应用

CRT 在多项式领域有一个非常重要的应用，就是辅助完成任意模数 NTT（MTT）。

传统的 NTT 可以解决多项式乘法问题，但是如果给出的模数不能写成 $2^ka+1$ 的形式，我们就不一定能找到模数的原根，也不一定能保证原根有成为单位根的价值。

我们一般可以选择三个模数 $998244353$，$1004535809$，$469762049$ 三个质数（都可以写成 $2^ka+1$ 的形式，且 $3$ 是它们的原根）分别作 NTT，并且使用 CRT 将答案合并起来。

这种做法，我们成为任意模数 NTT，是一种非常有用的多项式算法。我们会在后续的学习中讲到。

例题

本题目列表会持续更新。

• [P1495]曹冲养猪
• [P4777]【模板】扩展中国剩余定理（exCRT）
• [TJOI2009]猜数字