【算法笔记】中国剩余定理（CRT）与扩展中国剩余定理（exCRT）
- 本文总计约 8000 字，阅读大约需要 40 分钟。
- 警告！警告！警告！本文有大量的 \(\LaTeX\) 公式渲染，可能会导致加载异常缓慢！
三人同行七十稀，五树梅花廿一支。
七子团圆月正半，除百零五便可知。— —明代数学家程大位对『物不知数』问题解法给出的歌诀
前言
我觉得可以不要前言 QwQ。
问题引入
在我国古代的数学巨著《孙子算经》中，有这样一个名叫『物不知数』的问题：
今有物不知数，三三之数剩二，五五之数剩三，七七之数剩二，问物几何？
用现代的话翻译过来，就是求下面的关于 \(x\) 的同余方程组的解：
当然，我们可以计算出来最小的 \(x=23\)，那么，对于任意一个下面这样的关于 \(x\) 的同余方程：
它一定有解吗？如果有解，能不能给出一个高效的算法，求出来满足该方程的最小整数解呢？
中国剩余定理（CRT）
像上面这样，解决多个线性同余方程组的问题，被称为中国剩余问题。
在先秦时期，就有了类如『隔墙算』，『剪管术』，『韩信点兵』一类的问题，具体内容都是关于求上面这样线性同余方程组的数学问题。
然而，这类问题的文献记载，最早出现在南北朝时期的数学著作《孙子算经》中，作者将其称为『物不知数』问题，也就是题目引入中的那个问题。
后来，宋朝数学家秦九韶在他的数学著作《大衍章》中给出了比较系统的解答，并且给出了一个重要的定理，即所谓的中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT，又称孙子定理）：
设线性同余方程组：
如果 \(m_1,m_2\cdots,m_n\) 两两互质，则该方程组一定有解，且在模 \(M=\prod m_i\) 意义下解唯一。
剩余定理对解的构造
『好的，我们已经知道了这个问题一定有解了，但是我们怎么样才能得到这个解呢？』
这个时候，我们就要请出我国古代的数学家，程大位了。他将『物不知数』问题的解法变成了一首四句歌诀：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支。七子团圆月正半，除百零五便可知。
用现在的话来翻译一下，就是用 \(x\) 除以 \(3\) 所得的余数 \(2\)，乘以一个 \(70\)（三人同行七十稀）；
加上 \(x\) 除以 \(5\) 所得的余数 \(3\)，乘上 \(21\)（即廿一，五树梅花廿一支）；
再加上 \(x\) 除以 \(7\) 所得的余数 \(2\)，乘上 \(15\)（半个月即十五天，七子团圆月正半）；
得到的结果为 \(2\times 70+3\times 21+2\times 15=233\)，最后对 \(105\) 取模，得到 \(308\bmod 105=23\)，就是最终的答案了（除百零五便可知）。
这四句歌谣的确把『物不知数』问题算清楚了，但是，里面还有一些问题没有解决。
『对啊，\(105=3\times 5\times 7\) 尚且不论，那些 \(70,21,15\) 是怎么得出来的呢？难道是通过瞎蒙蒙出来的？』
我们就要考察一下这些数字的含义了。
对于一个线性同余方程组：
既然 \(x\) 在模 \(M\) 意义下有唯一解，我们就构造一个和 \(M\) 相关的解吧！
定义 \(M=\prod_{i=1}^n{m_i}\)，\(M_i=\dfrac{M}{m_i}\)，那么我们构造：
其中，\(t_i\) 为 \(M_i\) 在模 \(m_i\) 意义下的逆元。
我们下面可以证明，\(x\) 为该同余方程的一个解：
对于第 \(i\) 个方程 \(x\equiv a_i\pmod {m_i}\)，我们代入上式，得
因为 \(M_1,M_2,M_{i-1}\) 和 \(M_{i+1},M_{i+2},\cdots,M_n\) 里都含有因子 \(m_i\)，所以：
那么原式只剩下一个 \(x\equiv a_iM_it_i\pmod{m_i}\) 了，我们又知道， \(t_i\) 是 \(M_i\) 模 \(m_i\) 意义下的逆元，有 \(M_it_i\equiv 1\pmod {m_i}\)，所以 \(x\equiv a_i\pmod {m_i}\) 成立。
综上，\(x=(\sum_{i=1}^n a_iM_it_i)\bmod M\)。
注意到 \(m_i\) 不一定是质数，所以我们求 \(M_i\) 模 \(m_i\) 意义下的逆元需要用扩欧来完成。
代码
代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 100001;
typedef long long ll;
int n;
ll a[MAXN], m[MAXN], M = 1;
ll ans;
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { //扩欧，不解释
if(!b) {
x = 1, y = 0; return ;
}
exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%lld%lld", &m[i], &a[i]); //代表方程 x = a[i] (mod m[i])
M *= m[i]; //求出 M
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
ll xi, yi;
exgcd(M / m[i], m[i], xi, yi); //扩欧求逆元
xi = (xi % m[i] + m[i]) % m[i]; //要是正的
ans = (ans + a[i] * (M / m[i]) * xi) % M; //一边加一边取模
}
printf("%lld", ans);
return 0;
}
//by CaO
扩展中国剩余定理（exCRT）
CRT 可以解决当 \(m_1,m_2,\cdots,m_n\) 两两互质时的情况，但是如果 \(m_1,m_2,\cdots,m_n\) 不能做到两两互质，那么 CRT 的算法就束手无策了— —在求逆元的时候会出问题。
于是，exCRT 应运而生，它的思想不再是简单地构造一个解，而是通过合并两个同余方程的方式解答剩余问题的。
怎么合并呢
我们考虑下面的两个同余方程：
我们可以将其改写一下，就变成了：\(x=k_1a_1+m_1=k_2a_2+m_2\)，其中，\(k_1,k_2\in \mathbb{N}\)。
做个变形，我们就得到：\(a_1k_1-a_2k_2=m_2-m_1\)，这是一个关于 \(k_1,k_2\) 的不定方程，由 Bézout 定理，\(k_1,k_2\) 存在，当且仅当 \(\gcd(a_1,a_2)\mid (m_2-m_1)\)。
这样，我们就有了：
它也可以表示为下式：
我们设 \(\left(\dfrac{a_1}{\gcd(a_1,a_2)}\right)^{-1}\equiv K\quad\left(\bmod {\dfrac{a_2}{\gcd(a_1,a_2)}}\right)\)，则上式可转化为：
即：
由 \(x=k_1a_1+m_1\)，得：
注意到 \(\dfrac{a_1a_2}{\gcd(a_1,a_2)}=\operatorname{lcm}(a_1,a_2)\)，上式写成同余式即：
像这样，我们就把两个同余方程合并成了一个，如果是 \(n\) 个的话，像这样一个一个合并，就可以解决了！
代码
代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 300001;
typedef __int128 ll;
int n;
ll a[MAXN], b[MAXN], xi, yi;
ll mul(ll A, ll B) {
ll res = 0;
while(B) {
if(B & 1) res = res + A;
B >>= 1, A = A + A;
}
return res;
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
if(!b) {
x = 1, y = 0; return a;
}
ll ans = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return ans;
}
ll inv(ll a, ll b) {
ll x, k, res = exgcd(a, b, x, k);
ll t = b / res;
return (x % t + t) % t;
}
int main(void) {
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%lld%lld", &a[i], &b[i]);
ll r = exgcd(a[1], a[2], xi, yi);
ll A = mul(a[1], a[2] / r);
ll B = (inv(a[1] / r, a[2] / r) * (b[2] - b[1]) / r % (a[2] / r) + a[2] / r) % (a[2] / r) * a[1] + b[1]; //合并两个同余方程
for(int i = 3; i <= n; ++i) {
r = exgcd(A, a[i], xi, yi);
B = (inv(A / r, a[i] / r) * (b[i] - B) / r % (a[i] / r) + a[i] / r) % (a[i] / r) * A + B;
A = mul(A, a[i] / r); //继续合并同余方程
}
printf("%lld", B);
return 0;
}
//by CaO
应用
CRT 在多项式领域有一个非常重要的应用，就是辅助完成任意模数 NTT（MTT）。
传统的 NTT 可以解决多项式乘法问题，但是如果给出的模数不能写成 \(2^ka+1\) 的形式，我们就不一定能找到模数的原根，也不一定能保证原根有成为单位根的价值。
我们一般可以选择三个模数 \(998244353\)，\(1004535809\)，\(469762049\) 三个质数（都可以写成 \(2^ka+1\) 的形式，且 \(3\) 是它们的原根）分别作 NTT，并且使用 CRT 将答案合并起来。
这种做法，我们成为任意模数 NTT，是一种非常有用的多项式算法。我们会在后续的学习中讲到。
例题
本题目列表会持续更新。
