【算法笔记】扩展 Euclid 算法

合集 - OI算法笔记(13)

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前言

扩展 Euclid 算法是数论中最经典，也是最简单（？）的算法了，但是它的应用又十分的广泛。所以介绍它是十分有必要的。

数论的知识真的是非常奇怪呢（bushi），因为它们感性地理解起来非常轻松，但是要严谨证明就很难 QAQ，笔者在文中加入了大量的数学证明，尽管可能有读者不爱看因为其实我也不爱看，但是基于数学严谨的思想，我还是把它们加了进来，这可能会导致浏览器渲染起来蛮麻烦的，不过还是请读者多多包涵了。

题目引入

给定三个整数 $a,b,c$，求关于 $x,y$ 的二元一次不定方程 $ax+by=c$ 的一组整数解，注意该方程可能没有整数解。

样例输入 $1$：$a=3,b=2,c=7$；
样例输出 $1$：$x=1,y=2$。注意可能有其它的满足要求的解，如 $x=3,y=-1$。

样例输入 $2$：$a=2,b=-4,c=1$；
样例输出 $2$：无解，因为 $2x-4y$ 永远是偶数，但 $c=1$，是奇数。

最大公约数及 Euclid 算法

最大公约数的概念及性质

尽管最大公约数在我们小学的时候就已经接触了，但我们还是需要重新介绍一下它：

如果对于两个整数 $a,b$，若 $m$ 是最大的既可以整除 $a$（记作 $m\mid a$），又可以整除 $b$ 的正整数，即 $m$ 是 $a,b$ 最大的公约数，那么我们称 $m$ 为 $a,b$ 的最大公约数（好像很废话的概念 QwQ），记作 $m=\gcd(a,b)$。

特别地，若两个整数 $a,b$ 满足 $\gcd(a,b)=1$，则我们称 $a$ 与 $b$ 互质，记作 $a\perp b$。

显然 $\gcd$ 函数有如下的性质，此处不加以证明：

• 交换律：$\gcd(a,b)=\gcd(b,a)$，特别地，$\gcd(a,0)=\gcd(0,a)=a$；
• 可以提出常数：$\gcd(ka,kb)=k\gcd(a,b)\ (k\in\mathbb{Z}$)；
• 对加减法及取模自由：$\gcd(a,b)=\gcd(a,b\pm a)=\gcd(a,b\pm ka)=\gcd(a,b \bmod a)\ (k\in\mathbb{Z})$。

Euclid 算法的内容

现在我们已经知道了最大公约数的基本概念了，那么我们怎么求任意两个给定的整数 $m,n(m\ge n)$ 的最大公约数呢？

答曰：我会 $\mathcal{O}(n)$ 暴力枚举！

然而，假如我们令 $n\le 10^9$ 甚至是 $n\le 10^{18}$，那么 $\mathcal{O}(n)$ 的枚举是一定会超时的 QwQ，我们就需要一种更快的算法来求出上述问题中的 $\gcd(m,n)$。于是，Euclid 算法应运而生。

Euclid 算法，又称辗转相除法，顾名思义，是由古希腊数学家 $\mathcal{Euclid}$ 发明的算法，其步骤如下：

• 对于两个整数 $m,n$，如果有 $n\ne0$，那么我们求出 $r=m\bmod n$ 的值；
• 接下来，使 $m=n,n=r$；
• 重复上述两个步骤，直到 $n=0$ 时，$m$ 的值就是我们所求的最大公约数。

例如，我们要求 $\gcd(1081,897)$，步骤如下：

• $n=897\ne0$，故我们令 $m=897$，$n=1081\bmod897=184$；原问题即转化为求 $\gcd(897,184)$；
• $n=184\ne0$，故我们令 $m=184$，$n=897\bmod184=161$；原问题即转化为求 $\gcd(184,161)$；
• $n=161\ne0$，故我们令 $m=161$，$n=184\bmod161=23$；原问题即转化为求 $\gcd(161,23)$；
• $n=23\ne0$，故我们令 $m=23$，$n=161\bmod23=0$；此时 $n=0$，所以 $\gcd(1081,897)=m=23$。

像这样，不断地用一个数去除以另一个数，辗转不停，故得名为辗转相除法。

代码实现

Euclid 算法的代码非常好写，这里给出迭代求最大公约数的代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>  //有用于求 gcd 的标准函数 __gcd(int, int)
using namespace std;

inline int Euclid(int x, int y) {  //辗转相除法求 gcd(x, y)，inline 防止无效信息入栈
	int r;
	
	while(y) {
		r = x % y;
		x = y;
		y = r;
	}
	
	return x;
}

long long m, n;

int main(void) {
	scanf("%lld%lld", &m, &n);
	printf("%lld", Euclid(m, n));
	return 0;
}
//by CaO

当然，C++ 中 <algorithm> 库里有 __gcd(int, int) 函数，功能与上述函数相同，但我不知道 NOIP 中让不让用 QwQ。

时间复杂度分析

（前方数学证明警告！）
有一种非常经典的证明其时间复杂度的方法，如下：

我们构造数列 $\{U\}$，其递推式为：

$$U_i=\begin{cases} m & i=0,\\ n & i=1,\\ U_{i-2}\bmod U_{i-1} & \text{otherwise.} \end{cases}$$

定义 Fibonacci 数列 $\{F\}$ 递推式为：

$$F_i=\begin{cases} 1 & i\le 1, \\ F_{i-1}+F_{i-2} & i>2 \end{cases}\ (i=0,1,\cdots)$$

显然数列 $\{U\}$ 中存在一项 $U_x=0$。

故有 $F_0=U_x=0,F_1\ge U_x$。

又因为 $U_i \bmod U_{i+1}=U_{i+2}$，所以 $U_{i}\ge U_{i+1}+U_{i+2}$。

利用数学归纳法可得：$U_i\ge F_{x-i+1}$，故 $n=U_1\ge F_{x}$。

注意到 $F_x>\dfrac{(\phi+1)^x}{\sqrt{5}}$，其中 $\phi=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以 $x<\log_{(\phi+1)}(\sqrt{5}n)$。

故 Euclid 算法迭代的次数不超过 $\log_{(\phi+1)}(\sqrt{5}n)$ 次，时间复杂度为 $\mathcal{O}(\log n)$。$\Box$

这就是说，Euclid 算法相比较于 $\mathcal{O}(n)$ 的暴力枚举，有了很大程度的优化。

不定方程概念的引入

不定方程

一个含有多个未知数的整系数方程称为不定方程，又称 Diophantine 方程。即，形如：$\sum_{i=1}^{n}a_ix_i^{p_i}=b$ 的方程即为不定方程，其中 $a_i,p_i,b$ 均为整数（$i=1,2,\cdots,n$）。如果这个方程只有两个未知数，且未知数的次数均为 $1$，那么我们称其为二元一次不定方程。

注意，本文在讨论不定方程时，默认指的是二元一次不定方程，即形如 $ax+by=c$ 的方程。

不定方程有解问题 — — Bézout 定理

正如题目引入中所说的，二元一次不定方程是不一定有解的，例如 $2x-4y=1$ 就没有整数解。所以，我们应该如何判断，一个不定方程是否有解呢？

针对这个问题，早在 $17$ 世纪，法国数学家 $\mathcal{B\acute{e}zout}$ 就给出了结论：

关于 $x,y$ 的不定方程 $ax+by=c$ 有整数解，当且仅当 $\gcd(a,b)\mid c$。或者用另一种表述：$ax+by=\gcd(a,b)$ 一定有整数解。这就是著名的 Bézout 定理，或者国内又译为裴蜀定理或贝祖定理。证明如下：（数学证明警告！）

先证充分性，即若 $\gcd(a,b) \mid c$，则 $ax+by=c$ 有整数解。

设 $S$ 是最小的能用 $ax+by$ 表示的正整数，则有
$a\bmod S=a-S\left \lfloor \dfrac{a}{S} \right \rfloor=a-(ax+by)\left \lfloor \dfrac{a}{S} \right \rfloor=a \left(1-\left \lfloor \dfrac{a}{S} \right \rfloor \right)-b\left(\left \lfloor \dfrac{a}{S} \right \rfloor\right)\le S$。

又因为 $S$ 是最小的能用 $ax+by$ 表示的正整数，所以 $a\bmod S=0$，即 $S\mid a$；

同理 $S\mid b$。即 $S$ 是 $a,b$ 的公约数，由最大公约数定义得 $S\le \gcd(a,b)$。

又因为 $\gcd(a,b)\mid (ax+by)$，所以 $\gcd(a,b)\mid S$，故 $\gcd(a,b) \le S$。

综上 $S=\gcd(a,b)$，即 $ax+by=\gcd(a,b)$ 有整数解。

且对于任意 $c=kS\ (k\in\mathbb{Z})$，都存在 $x'=kx,y'=ky$，使得 $ax'+by'=c$，即 $ax+by=c$ 存在正整数解。

再证必要性，即若 $ax+by=c$ 有整数解，则 $\gcd(a,b) \mid c$。

假设 $x_0,y_0$ 是 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的整数解，则任意的 $ax+by=c$ 的整数解 $x,y$，都有 $x=\dfrac{c}{\gcd(a,b)}x_0,y=\dfrac{c}{\gcd(a,b)}y_0$。

若 $\gcd(a,b)\nmid c$，则 $x,y\notin\mathbb{Z}$，与 $x,y$ 为整数矛盾。

综上所述，不定方程 $ax+by=c$ 有整数解当且仅当 $\gcd(a,b)\mid c$。$\Box$

Bézout 定理的推广

当然，即使 Bézout 定理是关于二元一次不定方程的，但我们依旧可以将其推广到 $n$ 元的不定方程：

关于 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的 $n$ 元一次不定方程 $\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=b$ 有整数解，当且仅当 $\gcd_{i=1}^{n}(a_i)\mid b$。证明留给读者作为练习。

不定方程的解

扩展 Euclid 算法的引入

对于不定方程 $ax+by=c$，我们可以通过 Euclid 算法求出 $\gcd(a,b)$ 的值，然后用 Bézout 定理判断其是否存在整数解。

但是，我们只是知道了一个不定方程的可解性，又如何求它的具体解呢？

其实，这个问题通过对 Euclid 算法进行一些小小的拓展、变形，就可以求出来。也就是接下来的扩展 Euclid 算法。

扩展 Euclid 算法的内容

我们现在考虑最简单的一种情况：$ax+by=\gcd(a,b)$，应该如何求其整数解呢？

首先，小学的数学知识就告诉我们，商乘除数加余数等于被除数，这一点是永远成立的，所以我们用 $b$ 除以 $a$，有 $b=a\left \lfloor \dfrac{b}{a} \right \rfloor + (b\bmod a)$。代入原方程，有 $ax+\left(a\left \lfloor \dfrac{b}{a} \right \rfloor + (b\bmod a)\right)y=\gcd(a,b)$。

重新合并，得到了 $a\left(\left \lfloor \dfrac{b}{a} \right \rfloor y+x\right)+(b\bmod a)y=\gcd(a,b)$。

右边由 $\gcd$ 的性质有 $\gcd(a,b)=\gcd(a,a\bmod b)$，我们令左边 $x'=y,y'=\left \lfloor \dfrac{b}{a} \right \rfloor y+x$，则有 $(a\bmod b)x'+ay'=\gcd(a,a\bmod b)$，此时，我们就得到了一个新的，系数范围更小的不定方程。

如果我们求出了方程中的 $x',y'$，就可以代入回去，得到 $y=x',x=y'-\left \lfloor \dfrac{b}{a} \right \rfloor x'$。整个算法就可以递归地进行了。

递归的出口为 $b=0$，此时我们有 $x=1,y=0$。

像这样，我们利用了系数与系数之间 “辗转相除” 的方式，求出了 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组解，同时，我们也可以求出 $\gcd(a,b)$ 的值，即递归出口处 $a$ 的值。

这种算法是通过 Euclid 算法变形而来，所以我们称其为扩展 Euclid 算法，简称扩欧。

拓展情形

通过扩欧算法，我们可以求出 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组解。但是，根据 Bézout 定理，对于任意的 $\gcd(a,b)\mid c$，

代码

#include <cstdio>
using namespace std;

int a, b, c, k, x, y;
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {  //扩欧求不定方程
	if(b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;  //递归出口
	}
	
	int ans = (b, a % b, y, x);
	y -= (a / b * x);  //状态转移
	return ans;
}

int main(void) {
	scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
	
	if(c % exgcd(a, b, x, y) != 0) {  //根据裴蜀定理，此时方程无整数解
		printf("No Solution.\n");
	}
	
	else {
		k = c / exgcd(a, b, x, y);
		printf("x=%d, y=%d\n", k * x, k * y);
	}
	
	return 0;
}
//by CaO

时间复杂度分析

扩欧的算法与 Euclid 算法步骤基本相同，时间复杂度依旧为 $\mathcal{O}(\log n)$。

扩展 Euclid 算法的应用

扩欧可以用于同余方程的求解：形如 $x\equiv a\pmod{m}$ 的方程称为同余方程。我们通过余数的性质，可以将其改写为不定方程的形式：$x=km+a$。移项，得 $x-km=a$，其中 $x,k$ 是代求的未知数，我们可以通过扩欧求出来 $x$，也就是可以求出同余方程的解了。这种情况下，我们就可以将若干个同余方程连接成同余方程组，并求出满足同余方程组的解— —这就是著名的“中国剩余定理”（CRT）。

同时，我们可以依靠乘法逆元，在取模意义下完成除法，所谓乘法逆元，指的就是使得给定的 $a,m$ 满足 $ax\equiv1\pmod{m}$ 的 $x$ 的值。我们将其可以变形为 $ax+km=1$ 的形式，于是我们就可以通过扩欧求出 $x$，也就是求出 $a$ 模 $m$ 意义下的乘法逆元。

例题

本题目列表会持续更新。

• [P5656]【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
• [P1516]青蛙的约会
• [P3986]斐波那契数列