最小生成树_LuoguP1669
P1669 P1669 [USACO04DEC] Bad Cowtractors S
题意简化：在一个有 \(N\) 个点 \(M\) 条边的图中选出 \(N-1\) 条边构成一棵树，使得树的总边权最大，求最大总边权。
上述问题即为最小/大生成树问题，本题为最大生成树，如有未详者可以移步 P3366。
该问题一般是 Kruskal 和 Prim 算法，下面提供代码。
- Kruskal 算法基于排序后的贪心，以并查集确保其正确性。复杂度 \(O(mlogm)\) 该算法一般用得更多，性能更好。
- Prim 算法更像是 Dijkstra，通过一个类似于松弛的操作（但严格来说不是松弛）不断更新入树路径。复杂度 \(O(n^2)\) 在稠密图中有应用。
- 注意这个图可能是不连通的，最后要判断是否选中了 \(N-1\) 条边。
- 经试，这道题并没有必要开 long long，似乎有两篇题解写错了。
- 警钟：如果您使用的是邻接矩阵，加边时注意判定边的大小，因为有边权不同的重边，如果不考虑，就会出现这样的结果，具体处理方式参见“Prim 版代码”。
Kruskal 版
// 2023/5/30 Author:ForMyDream
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define maxn 20001
//#define int long long
using namespace std;
int n,m,head[maxn],cnt,fa[maxn],ans,tot;
struct Edge{ int u,v,nxt,w; }edge[maxn];
bool cmp(Edge a,Edge b){ return a.w>b.w; }
void add(int u,int v,int w){
edge[++cnt].v=v,edge[cnt].u=u,edge[cnt].w=w,
edge[cnt].nxt=head[u],head[u]=cnt;
}
int find(int x){ return x==fa[x] ? x : fa[x]=find(fa[x]); }
int merge(int x,int y){
int fx=find(x),fy=find(y);fa[fx]=fa[fy];
}
void Kruskal(){
sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
for (int i=1;i<=m;i++){
int fu=find(edge[i].u),fv=find(edge[i].v);
if (fu==fv) continue;
merge(fu,fv);
ans+=edge[i].w,tot++;
// printf("选中%d-%d\n",edge[i].u,edge[i].v);
}
}
signed main(){
cin>>n>>m; int u,v,w;
for (signed i=1;i<=m;i++){ cin>>u>>v>>w; add(u,v,w); }
for (signed i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
Kruskal();
if (tot!=n-1) cout<<-1;
else cout<<ans;
return 0;
}
Prim 版
// 2023/5/30
#include<iostream>
#define maxn 2001
using namespace std;
int g[maxn][maxn],n,m,dis[maxn],ans,vis[maxn];
// 邻接矩阵 到最大生成树的距离(不是到根的距离) 是否在最大生成树中
bool Prim(){
for (int i=2;i<=n;i++) dis[i]=g[i][1]; // 因为以 1 为根 所以初始化为到 1 的距离
for (int i=1;i<n;i++){ // (若联通)还需要找 N-1 个点
int id=-1,maxi=-114;
for (int j=2;j<=n;j++){
if (!vis[j]&&dis[j]>maxi){
id=j,maxi=dis[j];
}
}
// cout<<id<<'\n';
if (id==-1) return false; // 如果一个点都没选中->不连通
vis[id]=1; ans+=dis[id];
for (int j=1;j<=n;j++){ // 类似于松弛操作：更新距离
dis[j]=max(g[id][j],dis[j]);
}
}
return true;
}
int main(){
cin>>n>>m; int u,v,w;
for (int i=1;i<=n;i++){
for (int j=1;j<=n;j++){
g[i][j]=g[j][i]=-114;
}
}
for (signed i=1;i<=m;i++){ cin>>u>>v>>w; g[u][v]=g[v][u]=max(w,g[u][v]); }
if (!Prim()) cout<<-1;
else cout<<ans;
return 0;
}
记录：
Kruskal 54ms
Prim 82ms
本题为稀疏图，Kruskal 性能优于 Prim。
