n的m划分递推

http://www.hankcs.com/program/m-n-recursive-division.html

有n个无区别的物品，将它们划分为不超过m组，求出划分方法数模M的余数。

限制条件：

1≤m≤n≤1000

2≤M≤10000

输入

n = 4

m = 3

M = 10000

输出：

4 （1 + 1 + 2 = 1 + 3 = 2 + 2 = 4）

这样的划分被称作n的m划分，特别的，m = n时被称作n的划分数。在此我们定义如下：

dp[i][j] = j 的 i 划分的总数

 

递推关系的难点在于不重复。我们采用一种标准将问题化为子问题，这个标准需要用到一种新的定义。我们定义n的m划分具体为一个集合{ai}，{ai}满足∑mi=1 ai = n 。可以看出{ai}里一共有m个数，这m个数不一定大于0。

这个标准是：是否存在某个ai=0；这样可以将{ai}分为两种情况：

1、不存在某个ai=0

此时{ai}的个数等于{ai – 1}的个数，即 n – m 的 m 划分。理解起来并不难，集合里每个数都减去1，一共减了m个。

此时dp[i][j] = dp[i][j – i] 。

2、存在某个ai=0

 

此时{ai}的个数等于 n 的 m – 1 划分。可以这样思考，存在ai=0，说明划分一定不足m组，那么至少可以少分一组同时满足划分数相同。

此时dp[i][j] = dp[i – 1][j] 。

 

那么{ai}总的划分数就是这两种情况的综合，dp[i][j] = dp[i][j – i] + dp[i – 1][j]。

 

int n, m;
int dp[MAX_M + 1][MAX_N + 1];
void solve()
{
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= n; j++)
        {
            if(j - i >= 0)
                dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]) % M;
            else
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}