P5336 [THUSC2016]成绩单

题意：

期末考试结束了，班主任 L 老师要将成绩单分发到每位同学手中。L 老师共有 $n$ 份成绩单，按照编号从 $1$ 到 $n$ 的顺序叠放在桌子上，其中编号为 $i$ 的的成绩单分数为 $W_i$。
成绩单是按照批次发放的。发放成绩单时，L 老师会从当前的一叠成绩单中抽取连续的一段，让这些同学来领取自己的成绩单。当这批同学领取完毕后，L 老师再从剩余的成绩单中抽取连续的一段，供下一批同学领取。经过若干批次的领取后，成绩单将被全部发放到同学手中。
然而，分发成绩单是一件令人头痛的事情，一方面要照顾同学们的心理情绪，不能让分数相差太远的同学在同一批领取成绩单；另一方面要考虑时间成本，尽量减少领取成绩单的批次数。对于一个分发成绩单的方案，我们定义其代价为：
$a\times k+b\times \sum _{i=1}^k(ma{x}_i-mi{n}_i{)}^2$
其中 $k$ 是分发的批次数，对于第 $i$ 披分发的成绩单，$ma{x}_i$ 是最高分数，$mi{n}_i$ 是最低分数，$a$ 和 $b$ 是给定的评估参数。现在，请你帮助 L 老师找到代价最小的分发成绩单的方案，并将这个最小的代价告诉 L 老师。当然，分发成绩单的批次数 $k$ 是你决定的。

分析：

这个题属实有些抽象，卡了好久

显然，这个题涉及到区间合并，与之类似的还有P2135 方块消除 这道题。一般涉及到区间合并，就要求对该区间以后的区间记录一定的信息，一般在状态设计上处理。这样的模型称为挂载模型。

那么，对于这道题来说，除了区间的左右端点，影响该区间的代价还有区间内的最大最小值。将四个要素塞入状态中，定义状态 $dp[l][r][mn][mx]$ 表示把区间 $[l,r]$ 和接在这个区间后面的，满足这个区间里的最大值为 $mx$，最小值为 $mn$ 的另一个区间内的成绩单全部发放完毕，所需要的最小代价。也就是说，这个状态定义的是前后两个区间拼起来的总区间。

这样的状态设计就有点绕，想起来就更抽象了。不过它却是符合挂载模型的思维方法的，令人感慨。另一个奇怪的点是，如果你要表示分发位置为 $i$ 的成绩单所需要的代价，其状态就是 $dp[i][i-1][w[i]][w[i]]$。区间的左端点虽然大于了右端点，但是无伤大雅，说明前面一个区间是不存在的，而后面那个区间的最小值等于最大值，都为 $w[i]$，于是就表示出了分发位置为 $i$ 的成绩单所需要的代价。

这个题的预处理也比较奇怪，不过比较类似上一段的叙述。
根据上面的想法，用 $dp[i][i-1][mn][mx]$ 就可以表示 $i$ 位置以后的一个区间最大值为 $mx$，区间最小值为 $mn$ 的一个区间。因此预处理如下：

$$dp[i][i-1][mn][mx]=a+b\ast (mx-mn)\ast (mn-mx)$$

接下来说说怎么转移。
对于区间 $[l,r]$，状态 $dp[l][r][mn][mx]$ 来说，你可以选择直接把区间 $[l,r]$ 作为一批来发放，再把后面一个满足区间最大值为 $mx$，区间最小值为 $mn$ 的区间作为另一个批次，两个批次分别发放；也可以将这个区间和后面一个满足区间最大值为 $mx$，区间最小值为 $mn$ 的区间并起来作为一个批次一起发放；还可以在区间 $[l,r]$ 中枚举一个 $k$，把区间 $[k+1,r]$ 单独作一个批次分发，把区间 $[l,k]$ 与后面一个满足区间最大值为 $mx$，区间最小值为 $mn$ 的区间并起来作为一个批次分发。
上面三种选择分别对应了如下方程：

$$dp[l][r-1][w[r]][w[r]]+a+b\ast (mn-mx)\ast (mn-mx)$$

$$dp[l][r-1][mx][mn]$$

$$dp[l][k][mx][mn]+dp[k+1][r-1][w[r]][w[r]]，l<=k<r$$

$dp[l][r][mn][mx]$ 在上面三种转移中取一个 $min$ 即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 50;
int dp[MAXN + 5][MAXN + 5][MAXN + 5][MAXN + 5],n,A,B,w[MAXN + 5];
vector<int> lsh;
int main(){
    memset(dp,0x3f,sizeof dp);
    scanf("%d%d%d",&n,&A,&B);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d",&w[i]);
        lsh.push_back(w[i]);
    }
    sort(lsh.begin(),lsh.end());
    lsh.erase(unique(lsh.begin(),lsh.end()),lsh.end());
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        w[i] = lower_bound(lsh.begin(),lsh.end(),w[i]) - lsh.begin() + 1;                            
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int x = 1; x <= lsh.size(); x++){
            for(int y = x; y <= lsh.size(); y++){
                dp[i][i - 1][x][y] = A + B * (lsh[x - 1] - lsh[y - 1]) * (lsh[x - 1] - lsh[y - 1]);
            }
        }
    }
    for(int len = 1; len <= n; len++){
        for(int l = 1; l + len - 1 <= n; l++){
            int r = l + len - 1;
            for(int mi = 1; mi <= lsh.size(); mi++){
                for(int mx = mi; mx <= lsh.size(); mx++){
                    dp[l][r][mi][mx] = min(dp[l][r][mi][mx],dp[l][r - 1][w[r]][w[r]] + A + B * (lsh[mx - 1] - lsh[mi - 1]) * (lsh[mx - 1] - lsh[mi - 1]));
                    dp[l][r][mi][mx] = min(dp[l][r][mi][mx],dp[l][r - 1][min(mi,w[r])][max(mx,w[r])]);
                    for(int k = l; k < r; k++){
                        dp[l][r][mi][mx] = min(dp[l][r][mi][mx],dp[l][k][mi][mx] + dp[k + 1][r - 1][w[r]][w[r]]);
                    }
                }
            }
           
        }
    }
    cout << dp[1][n - 1][w[n]][w[n]] << "\n";
    
}

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本文作者：Never Gonna Give You Up!
本文链接：https://www.cnblogs.com/CZ-9/p/17367064.html
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