括号匹配序列计数问题

题意

一个长度为 $n$ 且符合规范的括号序列，其有些位置已经确定了，有些位置尚未确定，求这样的括号序列一共有多少个。要求复杂度为 $O(n^3)$

分析

由题意可知，我们可以这样定义括号匹配序列：

• 空序列是括号匹配序列。
• 如果 S 是括号匹配序列，那么 $(S)$ 也是括号匹配序列。
• 如果 A 是括号匹配序列，B 是括号匹配序列，那么 AB 也是括号匹配序列。

这样的定义似乎很正确，但对于我们的计数却有不利影响，原因如下述。
首先定义状态 $dp[l][r]$ 为区间 $[l,r]$ 中括号匹配序列的数量，转移如下：

$$\{\begin{array}{c}dp[l][r]+=\sum _{k=l}^{r}dp[l][k]\ast dp[k+1][r]\\ dp[l][r]+=dp[l+1][r-1](s[l]={=}^{\prime }{(}^{\prime }\mathrm{\&}\mathrm{\&}s[r]={=}^{\prime }{)}^{\prime })\end{array}$$

乍一看还挺正确的，其实不然。
比如对于这种情况：$()()()$。可以这样断开：$()\mathrm{\_}()()$。也可以这样断开：$()()\mathrm{\_}()$。然而这两种断开方式对应的括号匹配序列是一样的，因此就重算了。思考去重的方法，多少又有点无从下手，难道没有办法了吗？
思考一下刚才的dp对应的文法：

$$\mathrm{括}\mathrm{号}\mathrm{匹}\mathrm{配}\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{定}\mathrm{义}1\mathrm{和}2：S->(S)|()$$

$$\mathrm{括}\mathrm{号}\mathrm{匹}\mathrm{配}\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{定}\mathrm{义}3：S->SS$$

可见，$S$ 存在两种对应关系，这称作文法的二义性。这就导致我们算重复了。于是，切入点就变为如何设计文法，使其没有二义性。

比如下面的这种设计：

$$S->A|B$$

$$\mathrm{定}\mathrm{义}1\mathrm{和}\mathrm{定}\mathrm{义}2：A->()|(A)|(B)$$

$$\mathrm{定}\mathrm{义}3：B->AB|AA$$

可见，新增了 $A$ 和 $B$ 两种情况，使得不存在 $A$ 或 $B$ 对应两种对应关系，这就消除了文法的二义性。只需要对 $A$ $B$ 这两种情况分别dp，最后将总和加起来即可。设 $f[l][r]$ 为对 $A$ 的 dp，$g[l][r]$ 为对 $B$ 的dp。转移如下：

$$\{\begin{array}{c}f[l][r]+=f[l+1][r-1]+g[l+1][r-1](s[l]={=}^{\prime }{(}^{\prime }\mathrm{\&}\mathrm{\&}s[r]={=}^{\prime }{)}^{\prime })\\ g[l][r]=\sum _{k=l}^{r}f[l][k]\ast (g[k+1][r]+f[k+1][r])\end{array}$$

最后的答案就是 $f[1][n]+g[1][n]$。
如此，通过对文法设计进行改变，就能极大地降低算法复杂度。类似的思路在P7914 [CSP-S 2021] 括号序列也有体现。

__EOF__

本文作者：Never Gonna Give You Up!
本文链接：https://www.cnblogs.com/CZ-9/p/17366186.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！